Exercícios Resolvidos de Produtos Notáveis e Fatoração

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Enunciado

Encontre o coeficiente da potência   x 10 no desenvolvimento das potências abaixo:

  1. ( x + 3 ) 15
  2. ( x 2 + 4 ) 7

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo. Nosso objetivo é encontrar o coeficiente da potência   x 10 . Para isso, precisamos do binômio de Newton. Mas o que é esse binômio mesmo? Bem ele é uma fórmula muito prática para calcularmos coisas da forma

( a + b ) n

A fórmula é dada por:

( a + b ) n = ∑ k = 0 n n ! k ! ( n - k ) ! a n - k b k

Show?. Então vamos a luta!!!!!

Começando pela letra A

  1. ( x + 3 ) 15
  2. ( x + 3 ) 15 = ∑ k = 0 15 15 ! k ! ( 15 - k ) ! x 15 - k 3 k

    mas como só queremos saber o coeficiente da potência de x 10 , só precisamos encontrar o termo do somatório para k = 5 , pois aí teremos que

    15 ! k ! ( 15 - k ) ! x 15 - k 3 k = 15 ! 5 ! ( 15 - 5 ) ! x 10 3 5

    = 729729 x 10

    que é justamente o termo que queremos.

  3. ( x 2 + 4 ) 7

( x 2 + 4 ) 7 = ∑ k = 0 7 7 ! k ! ( 7 - k ) ! ( x 2 ) 7 - k ( 4 ) k

mas como só queremos saber o coeficiente da potência de x 10 , só precisamos encontrar o termo do somatório para k = 2 , pois aí teremos que

( x 2 ) 7 - k = ( x 2 ) 5 = x 10

que é justamente o termo que queremos.

Então, calculando o termo para k = 2

7 ! 2 ! ( 7 - 2 ) ! ( x 2 ) 7 - 2 ( 4 ) 2

= 7 ! 2 ! ( 7 - 2 ) ! x 10 * 16

= 336 x 10

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de pré-cálculo, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento acima

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