Exercícios Resolvidos de Produtos Notáveis e Fatoração

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Enunciado

Use os produtos notáveis para simplificar as expressões abaixo:

d) x 3 - 27 x + 3 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente simplificar a expressão que ele nos deu, usando os produtos notáveis.

Isso significa que vamos ter que fatorar os termos da expressão, que nada mais é do que representar essa expressão como um produto de fatores. Os produtos notáveis são algumas dessas expressões fatoradas que aparecem com muita frequência. As mais famosas são:

D i f e r e n ç a   d e   q u a d r a d o s : x 2 - a 2 = x - a x + a

Q u a d r a d o s   p e r f e i t o s : x + a 2 = x 2 + 2 x a + a 2 x - a 2 = x 2 - 2 x a + a 2

C u b o s   p e r f e i t o s :   a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

No caso dos cubos, existem outras formas de escrever essas expressões de forma fatorada e é importante a gente ficar atento a elas. Então, vamos descobrir em qual caso nossa expressão está inserida e simplificar.

Vamos lá!

Passo 2

Nós temos o quociente:

x 3 - 27 x + 3

Repare que no numerador dessa fração nós temos a diferença do quadrado de cubos, na forma ( a 3 - b 3 ) , onde a = x e b = 3 . Essa diferença pode ser fatorada na forma:

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Então, nossa expressão fica assim:

( x - 3 ) ( x 2 + 3 x + 9 ) x + 3

Se fosse um x - 3 ali embaixo, a gente conseguiria cancelar o fator comum do numerador e denominador. Mas como temos um sinal de + ali no denominador, nossa expressão fatorada fica dessa forma mesmo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

( x - 3 ) ( x 2 + 3 x + 9 ) x + 3

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