Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

A3 T17

Considere o espaço vetorial P 3 R e o produto interno f x , g x = ∫ 0 1 f x g x d x . Dados p x = 1 + x + x 2 e q x = x 3 , determine a projeção ortogonal de p x em q x .

Passo 1

Lembra que vimos que a projeção de um vetor sobre outro poderia ser dada assim:

P v b = b , v v , v v

O fato é que em álgebra, tudo é um ‘vetor’ haha. Então sim, essa fórmula também vale para polinômios!! O que queremos é:

P q x p x = p x , q x q x , q x q x

p x , q x = 1 + x + x 2 , x 3 = ∫ 0 1 x 5 + x 4 + x 3 d x = x 6 6 + x 5 5 + x 4 4 0 1 = 1 6 + 1 5 + 1 4 = 10 + 12 + 15 60 = 37 60

q x , q x = x 3 , x 3 = ∫ 0 1 x 6 d x = x 7 7 0 1 = 1 7

Então:

P q x p x = 37 60 1 7 x 3 = 259 60 x 3

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Resposta

259 60 x 3

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