Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

A3 T17 T6

Seja C 0 0,2 π , R o espaço vetorial formado pelas funções contínuas de 0,2 π em R , e nele consideremos o produto interno f , g = ∫ 0 2 π f t g t d t . Seja W o subespaço de C 0 0,2 π , R dado por W = G e r 1 , cos ⁡ t , sin ⁡ t

a Mostre que 1 , cos ⁡ t , sin ⁡ t é uma base ortogonal de W .

b Encontre a função de W que melhor aproxima a função f t = t - 1

Obs.: É dado que

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t = ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t d t = π

∫ 0 2 π t cos ⁡ t d t = 0

∫ 0 2 π t sin ⁡ t d t = - 2 π

Passo 1

a Para mostramos que 1 , cos ⁡ t , sin ⁡ t é base ortogonal de W , basta mostrarmos que são ortogonais. Então:

1 , cos ⁡ t = ∫ 0 2 π cos ⁡ t d t = sin ⁡ t 0 2 π = 0

1 , sin ⁡ t = ∫ 0 2 π sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t 0 2 π = - 1 + 1 = 0

cos ⁡ t , sin ⁡ t = ∫ 0 2 π cos ⁡ t sin ⁡ t d t = ⏟ u = sin ⁡ t d u = cos ⁡ t d t ∫ 0 0 u d u = 0

Como temos um conjunto gerador de W que é ortogonal, ele é uma base ortogonal de W .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b A função de W que melhor aproxima f t = t - 1 é simplesmente a projeção de f t sobre W ! E como 1 , cos ⁡ t , sin ⁡ t é uma base ortogonal de W , a projeção é dada por:

p r o j W f t = 1 , f t 1,1 1 + cos ⁡ t , f t cos ⁡ t , cos ⁡ t cos ⁡ t + sin ⁡ t , f t sin ⁡ t , sin ⁡ t sin ⁡ t

Calculando os produtos internos:

1 , f t = ∫ 0 2 π t - 1 d t = t 2 2 - t 0 2 π = 2 π 2 - 2 π

1,1 = ∫ 0 2 π 1 d t = 2 π

cos ⁡ t , f t = ∫ 0 2 π f t cos ⁡ t d t = ∫ 0 2 π t cos ⁡ t d t - ∫ 0 2 π cos ⁡ t d t = 0 - sin ⁡ t 0 2 π = 0

cos ⁡ t , cos ⁡ t = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t = π

sin ⁡ t , f t = ∫ 0 2 π f t sin ⁡ t d t = ∫ 0 2 π t sin ⁡ t d t - ∫ 0 2 π sin ⁡ t d t = - 2 π + cos ⁡ t 0 2 π = - 2 π

sin ⁡ t , sin ⁡ t = ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t d t = π

Passo 3

Substituindo:

p r o j W f t = 2 π 2 - 2 π 2 π + 0 - 2 π π sin ⁡ t

p r o j W f t = π - 1 - 2 sin ⁡ t

Resposta

b g t = π - 1 - 2 sin ⁡ t

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