Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.2, Questão 11

Sejam v → = 1,0 , 0,1 e u → = 1 , a , b , 1 . Considere as afirmativas abaixo:

I - A projeção ortogonal de v → na direção de u → independe dos valores de a   e b .

I I - A projeção ortogonal de u → na direção de v → independe dos valores de a e b .

(a) Ambas são verdadeiras  

(b)   Ambas são falsas

(c) I é falsa e I I é verdadeira

(d) I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Bom a fórmulinha para a projeção de um vetor v em uma reta gerada por u   é a seguinte:

P u v = u , v v , v v

Vamos aplicar aqueles vetores que nos deram para saber a resposta:

P u v = 1,0 , 0,1 , 1 , a , b , 1 1 , a , b , 1 , 1 , a , b , 1 1 , a , b , 1 = 2 2 + a 2 + b 2 ( 1 , a , b , 1 )

Gente, é claro que isso aí depende dos valores de a   e b .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver agora a projeção do vetor u na reta gerada por v :

P v u = v , u u , u u

P u v = 1,0 , 0,1 , 1 , a , b , 1 1,0 , 0,1 , 1,0 , 0,1 1,0 , 0,1 = 1 ( 1,0 , 0,1 )

Opa, agora sim, isso aí não depende de a e b ! A segunda afirmativa está correta!

Resposta

c

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