Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

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Enunciado

Sejam V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ e S um subespaço de V . Se v ∈ V , w ∈ S ⊥ e z ∈ S são vetores não nulos tais que v = 4 w + 7 z , então o vetor de S mais próximo de v é:

a )   v - p r o j z v ;

b )   z ;

c )   p r o j w v ;

d )   7 z ;

e ) - 7 z .

Passo 1

Falaaa, blzz?? Bora para mais um problema dessa prova. Essa questão é uma aplicação e interpretação do que é uma projeção.

Nessa mesma prova, anteriormente, foi usado no enunciado a seguinte expressão:

“ e n t ã o   o   v e t o r   d e   S   m a i s   p r ó x i m o   d e   v ”

Essa expressão é referente a projeção ortogonal de v sobre S , por definição, ou seja:

u = p r o j S   v é o vetor de S mais próximo de v , agora basta a gente entender quem é esse tal de u .

Passo 2

Bom, para fazermos esse problema, vamos lembrar um pouco o conceito de projeção ortogonal.

Nesse caso, temos que p = p r o j u   v . A ideia de projeção, surge do fato de que w = v - p   e   w ⊥ u . Ou seja, se temos as seguintes condições:

w = v - p w ⊥ u

E daqui, tiramos que p = p r o j u   v , por definição de projeção mesmo.

Além disso, da primeira equação, sabemos que w = v - p r o j u   v

Logo, nosso objetivo é achar uma estrutura desse tipo, um vetor sendo igual a um cara menos alguém que é perpendicular a ele.

Passo 3

Agora, podemos aplicar isso no problema. Veja que temos o seguinte:

v = 4 w + 7 z

Ou seja, de forma análoga:

v - 7 z = 4 w

Agora, veja que 4 w ⊥ S , pois w   ∈ S ⊥

Por isso 7 z ⊥ 4 w , uma vez que 7 z ∈ S .

Se você parar e refletir, vai ver que temos exatamente o “corpo” de projeção.

Então, unindo o que foi dito, podemos dizer que 7 z = p r o j S   v   , e como queríamos achar isso, já chegamos na resposta. Bora para mais um problema??

Resposta

Letra D

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