Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

Seja β = { u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } uma base ortogonal do R 4 , seja W = u 1 , u 2   o espaço gerado pelos dois primeiros vetores, e seja P a projeção ortogonal sobre W.

Então:

(I) β é uma base de autovetores de P.

(II) u 1 + u 2 + u 3 + u 4 = 2 .

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Como estamos falando de autovetor, vamos ver o que acontece se aplicamos a transformação P de projeção ortogonal sobre W aos vetores da base β .

Lembra que o enunciado disse que β é ortogonal!

Então vamos usar a formulazinha pra fazer projeção em uma base ortogonal.

Vamos ter:

P H v = v , u 1 u 1 , u 1 u 1 + v , u 2 u 2 , u 2 u 2 + v , u 3 u 3 , u 3 u 3 + v , u 4 u 4 , u 4 u 4

Vamos fazer a projeção de cada vetor da base β .

Começando pelo u 1 :

P H u 1 = u 1 , u 1 u 1 , u 1 u 1 + u 1 , u 2 u 2 , u 2 u 2 + u 1 , u 3 u 3 , u 3 u 3 + u 1 , u 4 u 4 , u 4 u 4

Mas a base é ortogonal certo??

Então:

u 1 , u 2 = u 1 , u 3 = u 1 , u 4 = 0

Logo:

P H u 1 = u 1 , u 1 u 1 , u 1 u 1 = u 1

Escrevendo de outra forma:

P H u 1 = 1 u 1

Ou seja, aplicamos o vetor   u 1   à transformação linear P H e obtemos de volta um múltiplo desse vetor.

E isso é justamente a definição de autovetor!!

Logo, u 1 é autovetor associado ao autovalor λ = 1 .

Se vocês fizerem isso para os outros vetores da base, vão obter o mesmo resultado!

Ou seja, eles vão ser autovetores associados ao autovalor λ = 1 .

Como β é base e seus vetores são autovetores, ela é uma base de autovetores e a afirmação (I) é verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(II) Vamos chamar aquela coisa enorme de v .

v = u 1 + u 2 + u 3 + u 4

Vimos na teoria que:

v = v , v

∴ v 2 = v , v

Então vamos fazer o produto interno:

v , v = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 , u 1 + u 2 + u 3 + u 4

Usando a linearidade do produto interno:

v , v = u 1 , u 1 + u 1 , u 2 + u 1 , u 3 + u 1 , u 4 + u 2 , u 1 + … + u 4 , u 4

Beleza, mas a base é ortogonal!

Logo:

u i , u j = 0   p a r a   t o d o   i ≠ j

Então o produto interno fica:

v , v = u 1 , u 1 + u 2 , u 2 + u 3 , u 3 + u 4 , u 4

Portanto:

v = u 1 , u 1 + u 2 , u 2 + u 3 , u 3 + u 4 , u 4

E agora?

Bom, a afirmativa diz que esse carinha v é igual a 2.

Pra ele ser igual a 2, então o número de dentro da raíz tem que ser 4.

Como:

u i , u i ≠ 0 ,   s e   u i ≠ 0

Então cada um dos termos da soma teria que ser igual a 1.

Mas isso não necessariamente é verdade.

Isso só seria verdade se a base, além de ortogonal, tivesse todos os vetores com norma igual a 1, ou seja, se β fosse uma base ortonormal.

Por isso, vamos dizer que a afirmativa (II) é falsa.

Resposta

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

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