Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

A3 T17

Seja q → 1 , q → 2 , q → 3 uma base ortonormal do subespaço H ⊂ V e seja v → ∈ V , v → ∉ H . Considere o vetor

w → = v → - v → , q → 1 q → 1 - v → , q → 2 q → 2 - v → , q → 3 q → 3

(Aqui, x → , y → denota o produto interno de x → e y → )

Pode-se afirmar que:

( a ) w → = P H v → , onde P H denota a projeção ortogonal sobre H .

( b ) q → 1 , q → 2 , q → 3 , w → é um conjunto ortogonal (mas não necessariamente ortonormal).

( c ) w → e v → são ortogonais.

( d ) w → = 1 .

Passo 1

A primeira coisa que você tem que perceber é que isso se parece MUITO com a fórmula de projeção em base ortogonal! Se liga:

P H b = b , v 1 v 1 , v 1 v 1 + b , v 2 v 2 , v 2 v 2 + … + b , v n v n , v n v n

Como nesse caso os vetores são ortonormais, temos que v 1 , v 1 = v 2 , v 2 = … = v n , v n = 1 , então:

P H b = b , v 1 v 1 + b , v 2 v 2 + … + b , v n v n

Agora substituindo as variáveis do problema:

P H v → = v → , q → 1 q → 1 + v → , q → 2 q → 2 + v → , q → 3 q → 3

Opa, então o vetor w → é definido como:

w → = v → - P H v →

Isso já elimina a a . Para as outras letras vamos fazer um desenho pra ficar mais claro:

Usamos um plano pra ficar mais fácil de visualizar, mas sabemos que H é um superplano de dimesão 3 , já que sua base tem 3 elementos. Nesse caso, vemos claramente que w → e v → não são ortogonais, e que w → não necessariamente é igual a 1 !

Por outro lado, vemos que w → é perpendicular a H ! Logo, q → 1 , q → 2 , q → 3 , w → é um conjunto ortogonal! Não podemos afirmar que é ortonormal pois, como vimos, w → não necessariamente é igual a 1 . A letra b é a correta.

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Resposta

Letra ( b )

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