Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

Num triângulo A B C , considere o ponto D tal que D C → = 3 A D → , o ponto médio de B C , P , e o ponto Q sobre o lado A C tal que o triângulo P C Q é retângulo em Q .

Organizando as informações

A D → + D C → = A C → →   A D → + 3 A D → = A C → → 4 A D → = A C →

A D → = 1 3 D C → = 1 4 A C →

a) Escreva B D → como combinação linear de A B → e B C → .

b) Se, em alguma base ortonormal E tem-se A B → = ( 2 ,   8 ,   8 ) E e D C → = ( 3 ,   6 ,   9 ) E

b1) Calcule a área do triângulo A B C .

b2) Determine as coordenadas do vetor Q C → na base E .

Passo 1

a) Olhando pra figura, a gente sabe que

B D → = B A → + A D →

B D → = - A B → + 1 4 A C →

B D → = - A B → + 1 4 ( A B → + B C → )

Agora temos B D → em função de A B → e B C → :) vamos só dar uma arrumada pra ficar bonitinho:

B D → = - A B → + 1 4 A B → + 1 4 B C →

B D → = - 3 4 A B → + 1 4 B C →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b1) Lembra que a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial? Então

A = | A B → ∧ A C → | 2

Os dados do enunciado falam pra gente que A C → = 4 3 D C → , então A C → = 4 3 3 ,   6 ,   9 = ( 4 ,   8 ,   1 2 ) .

Primeiro vamos calcular o produto vetorial de A B → com A C → :

A B → ∧ A C → = i ^ j ^ k ^ 2 8 8 4 8 12 = 32 i ^ + 8 j ^ - 16 k ^

Passo 3

Agora vamos calcular o módulo do produto vetorial:

A B → ∧ A C → = 32 2 + 8 2 + ( - 16 ) ² = 1344 = 8 21

Então, a área do triângulo vai ser

A = 8 21 2 = 4 21

Passo 4

b2) O vetor Q C → vai ser a projeção ortogonal de C P → sobre C A → (veja isso pela figura), ou seja:

Q C → = P r o j C A → C P → = C P → . C A → C A → . C A → C A →

Antes de tudo bora encontrar os vetores C P → e C A → :

Sabemos do item anterior que A C → = ( 4 ,   8 ,   1 2 ) . C A → vai ser o oposto disso, ou seja, C A → = ( - 4 ,   - 8 ,   - 1 2 ) .

Como P é o ponto médio de C B → , temos que C P → = C B → 2 , logo:

C P → = C A → + A B → 2

C P → = ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 ) + ( 2 ,   8 ,   8 ) 2

C P → = ( - 1 ,   0 ,   2 )

Passo 5

Agora vamos calcular o vetor Q C → :

Q C → = ( - 1 ,   0 ,   2 ) . ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 ) - 4 ,   - 8 ,   - 12 . ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 ) ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 )

Q C → = 4 - 24 16 + 64 + 144 ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 )

Q C → = 1 2 ,   1 , 3 2 E  

Resposta

a) B D → = - 3 4 A B → + 1 4 B C →

b1) A = 4 21

b2) Q C → = 1 2 ,   1 , 3 2 E

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