Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

Considere no R 4 o produto interno usual. Seja o subespaço W = [ 1 ,   2 ,   0 ,   1 , - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ] .

b) Seja P W :   R 4 → R 4 o operador projeção em W .   Determine P W ( x , y , z , t ) .

Passo 1

Primeiramente, vamos fazer o produto interno dos dois vetores da base de W :

< 1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 > = - 2 + 2 + 0 + 0 = 0

Assim temos uma base ortogonal e queremos fazer uma projeção nela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembra que aprendemos uma fórmulinha pra esses casos?

É assim, se β = v 1 , v 2 , … ,   v n é uma base ortogonal de um espaço H então a projeção ortogonal de um vetor qualquer b nele é igual a:

∑ i = 1 n < b , v i > < v i , v i > v i

Vamos aplicar na nossa questão agora para ver como funciona isso aí.

P W x , y , z , t = < x , y , z , t , 1 ,   2 ,   0 ,   1 > < 1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   0 ,   1 > ∙ 1 ,   2 ,   0 ,   1 +

< x , y , z , t , - 2 ,   1 ,   1 ,   1 > < - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 > ∙ - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ⟹

P W x , y , z , t = ( x + 2 y + t ) 6 1 ,   2 ,   0 ,   1 + ( - 2 x + y + z ) 6 - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ⟹

P W x , y , z , t = 1 6 ( 5 x - 2 z + t , 5 y + z + 2 t , - 2 x + y + z ,   x + 2 y + t )

Resposta

P W x , y , z , t = 1 6 ( 5 x - 2 z + t , 5 y + z + 2 t , - 2 x + y + z ,   x + 2 y + t )

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