Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

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Enunciado

Considere o produto interno F : R 3 × R 3 → R , x = x 1 , x 2 , x 3 , y = y 1 , y 2 , y 3 , definido por F x , y = 3 x 1 y 1 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + 2 x 2 y 2 + x 3 y 3 .

Determine a soma das entradas da projeção ortogonal do vetor 0,0 , 2 na direção do vetor 1,1 , 2 .

a 25 8

b 5 8

c 16 7

d 8 7

Passo 1

Temos que a projeção ortogonal de um vetor sobre uma direção v pode ser dada por:

P v b = b , v v , v v = 0,0 , 2 , 1,1 , 2 1,1 , 2 , 1,1 , 2 1,1 , 2 = 4 3 - 1 - 1 + 2 + 4 1,1 , 2 = 4 7 1,1 , 2

A soma das entradas é dada por:

4 7 1 + 1 + 2 = 16 7

Resposta

Letra ( c )

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19. Encontre os vetores w → 1 em W e w → 2 em W ⊥ tais que x → = w → 1 + w → 2 com x → e W dados no(a) Exercício 14(a)(b) Exercício 15(a)
15. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
14. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1)
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: Revise o Exemplo 3.10 na página 178).