Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

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Enunciado

Considere o produto interno F : R 3 × R 3 → R , x = x 1 , x 2 , x 3 , y = y 1 , y 2 , y 3 , definido por F x , y = 2 x 1 y 1 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 .

Determine a soma das entradas da projeção ortogonal do vetor 2,0 , 0 na direção do vetor 1,2 , 1 .

( a )   3

( b )   1

( c )   4

( d )   0

Passo 1

Vamos calcular a projeção ortogonal usando o produto interno dado. Sabemos que a projeção de um vetor v na direção de um vetor u pode ser definida como:

p r o j u v = v , u u , u u

p r o j 1,2 , 1 2,0 , 0 = 2,0 , 0 , 1,2 , 1 1,2 , 1 , 1,2 , 1 1,2 , 1

Usando a fórmula que o enunciado fornece pra gente:

2,0 , 0 , 1,2 , 1 = 2 ∙ 2 ∙ 1 - 2 ∙ 2 - 0 ∙ 1 + 0 ∙ 2 + 0 ∙ 1 = 4 - 4 = 0

Opa opa opa! Para tudo! Reparou que o produto interno entre eles deu zero? Então nem precisamos continuar! Se deu 0 quer dizer que eles são ortogonais, então a projeção de v sobre u tem que ser 0,0 , 0 . Logo, a soma das entradas da projeção será 0 .

Resposta

Letra ( d )

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15. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
14. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1)
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: Revise o Exemplo 3.10 na página 178).