Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2014.1, Questão 16

Considere o produto interno F : R 3 × R 3 R , x = x 1 , x 2 , x 3 , y = y 1 , y 2 , y 3 , definido por F x , y = 2 x 1 y 1 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 .

Determine a soma das entradas da projeção ortogonal do vetor 2,0 , 0 na direção do vetor 1,2 , 1 .

( a )   3

( b )   1

( c )   4

( d )   0

Passo 1

Vamos calcular a projeção ortogonal usando o produto interno dado. Sabemos que a projeção de um vetor v na direção de um vetor u pode ser definida como:

p r o j u v = v , u u , u u

p r o j 1,2 , 1 2,0 , 0 = 2,0 , 0 , 1,2 , 1 1,2 , 1 , 1,2 , 1 1,2 , 1

Usando a fórmula que o enunciado fornece pra gente:

2,0 , 0 , 1,2 , 1 = 2 2 1 - 2 2 - 0 1 + 0 2 + 0 1 = 4 - 4 = 0

Opa opa opa! Para tudo! Reparou que o produto interno entre eles deu zero? Então nem precisamos continuar! Se deu 0 quer dizer que eles são ortogonais, então a projeção de v sobre u tem que ser 0,0 , 0 . Logo, a soma das entradas da projeção será 0 .

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Resposta

Letra ( d )

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