Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

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Enunciado

Considere o produto interno usual de R 4 . Calcule a projeção ortogonal do vetor 4,0 , 4,0 na reta que passa pela origem e possui a direção do vetor 1 , - 1,1 , - 1 .

a   2 , - 2,2 , - 2

b   1 2 , - 1 2 , 1 2 , - 1 2

c   1 , - 1,1 , - 1

d   3 2 , - 3 2 , 3 2 , - 3 2

Passo 1

A projeção de um vetor sobre uma direção é dada por:

P v b = b , v v , v v

Logo:

P 1 , - 1,1 , - 1 4,0 , 4,0 = 4,0 , 4,0 , 1 , - 1,1 , - 1 1 , - 1,1 , - 1 , 1 , - 1,1 , - 1 1 , - 1,1 , - 1 = 8 4 1 , - 1,1 , - 1 = 2 , - 2,2 , - 2

Resposta

Letra ( a )

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19. Encontre os vetores w → 1 em W e w → 2 em W ⊥ tais que x → = w → 1 + w → 2 com x → e W dados no(a) Exercício 14(a)(b) Exercício 15(a)
15. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
14. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1)
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: Revise o Exemplo 3.10 na página 178).