Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

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Enunciado

Considere no R 4 o produto interno usual. Seja o subespaço W = [ 1 ,   2 ,   0 ,   1 , - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ] .

b) Seja P W :   R 4 → R 4 o operador projeção em W .   Determine P W ( x , y , z , t ) .

Passo 1

Primeiramente, vamos fazer o produto interno dos dois vetores da base de W :

< 1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 > = - 2 + 2 + 0 + 0 = 0

Assim temos uma base ortogonal e queremos fazer uma projeção nela.

Passo 2

Lembra que aprendemos uma fórmulinha pra esses casos?

É assim, se β = v 1 , v 2 , … ,   v n é uma base ortogonal de um espaço H então a projeção ortogonal de um vetor qualquer b nele é igual a:

∑ i = 1 n < b , v i > < v i , v i > v i

Vamos aplicar na nossa questão agora para ver como funciona isso aí.

P W x , y , z , t = < x , y , z , t , 1 ,   2 ,   0 ,   1 > < 1 ,   2 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   0 ,   1 > ∙ 1 ,   2 ,   0 ,   1 +

< x , y , z , t , - 2 ,   1 ,   1 ,   1 > < - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   0 > ∙ - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ⟹

P W x , y , z , t = ( x + 2 y + t ) 6 1 ,   2 ,   0 ,   1 + ( - 2 x + y + z ) 6 - 2 ,   1 ,   1 ,   0 ⟹

P W x , y , z , t = 1 6 ( 5 x - 2 z + t , 5 y + z + 2 t , - 2 x + y + z ,   x + 2 y + t )

Resposta

P W x , y , z , t = 1 6 ( 5 x - 2 z + t , 5 y + z + 2 t , - 2 x + y + z ,   x + 2 y + t )

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14. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1)
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: Revise o Exemplo 3.10 na página 178).