Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

Elaboração própria.

Em um espaço vetorial P 2 R , o produto interno é dado por f x , g x = ∫ 0 1 f x g x d x . Dados p x = x ² e q x = 5 x 2 - 3 , calcule a projeção de r x = x + 4 na base formada por p ( x ) e q ( x ) .

Dados:

∫ 0 1 x + 4 . 5 x 2 - 3 d x = - 67 12

∫ 0 1 x + 4 . x 2 d x = 19 12

Passo 1

Antes de qualquer coisa, nós vamos calcular o produto interno entre p ( x ) e q ( x ) :

p x , q x = ∫ 0 1 x 2 . ( 5 x 2 - 3 ) d x

p x , q x = ∫ 0 1 5 x 4 - 3 x ² d x

p x , q x = 5 x 5 5 0 1 - 3 x 3 3 0 1

p x , q x = 1 - 1 = 0

Opa, o produto interno deu 0, então p ( x ) e q ( x ) são ortogonais!! :D

O que isso quer dizer? Que para calcularmos a projeção de r ( x ) nessa base podemos usar aquela fórmula:

P b H = r x ,   p x p x ,   p x p ( x ) + r x ,   q x q x ,   q x q ( x )

Isso mesmo, embora sejam polinômios, podemos tratá-los como vetores e calcular a projeção normalmente através do produto interno dado no enunciado ok?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo os polinômios:

P b H = x + 4 ,   x ² x 2 ,   x ² x ² + x + 4 ,   5 x 2 - 3 5 x 2 - 3 ,   5 x 2 - 3 5 x 2 - 3

P b H = ∫ 0 1 x + 4 . x 2 d x ∫ 0 1 x 2 . x 2 d x x ² + ∫ 0 1 x + 4 . 5 x 2 - 3 d x ∫ 0 1 5 x 2 - 3 . ( 5 x 2 - 3 ) d x 5 x 2 - 3

P b H = 19 12 1 5 x ² + - 67 12 4 5 x 2 - 3

P b H = 95 12 x 2 - 67 48 5 x 2 - 3

Então, a projeção de r ( x ) na base dada é:

P b H = 15 x 2 + 67 16

Resposta

P b H = 15 x 2 + 67 16

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas