Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2016.2, Questão 13

Seja q 1 , q 2 , q 3 uma base ortonormal do subespaço H V e seja v V , v H . Considere o vetor

w = v - v , q 1 q 1 - v , q 2 q 2 - v , q 3 q 3

(Aqui, x , y denota o produto interno de x e y )

Pode-se afirmar que:

( a ) w = P H v , onde P H denota a projeção ortogonal sobre H .

( b ) q 1 , q 2 , q 3 , w é um conjunto ortogonal (mas não necessariamente ortonormal).

( c ) w e v são ortogonais.

( d ) w = 1 .

Passo 1

A primeira coisa que você tem que perceber é que isso se parece MUITO com a fórmula de projeção em base ortogonal! Se liga:

P H b = b , v 1 v 1 , v 1 v 1 + b , v 2 v 2 , v 2 v 2 + + b , v n v n , v n v n

Como nesse caso os vetores são ortonormais, temos que v 1 , v 1 = v 2 , v 2 = = v n , v n = 1 , então:

P H b = b , v 1 v 1 + b , v 2 v 2 + + b , v n v n

Agora substituindo as variáveis do problema:

P H v = v , q 1 q 1 + v , q 2 q 2 + v , q 3 q 3

Opa, então o vetor w é definido como:

w = v - P H v

Isso já elimina a a . Para as outras letras vamos fazer um desenho pra ficar mais claro:

Usamos um plano pra ficar mais fácil de visualizar, mas sabemos que H é um superplano de dimesão 3 , já que sua base tem 3 elementos. Nesse caso, vemos claramente que w e v não são ortogonais, e que w não necessariamente é igual a 1 !

Por outro lado, vemos que w é perpendicular a H ! Logo, q 1 , q 2 , q 3 , w é um conjunto ortogonal! Não podemos afirmar que é ortonormal pois, como vimos, w não necessariamente é igual a 1 . A letra b é a correta.

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Resposta

Letra ( b )

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