Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2015.1, Questão 3

Seja C 0 0,2 π , R o espaço vetorial formado pelas funções contínuas de 0,2 π em R , e nele consideremos o produto interno f , g = 0 2 π f t g t d t . Seja W o subespaço de C 0 0,2 π , R dado por W = G e r 1 , cos t , sin t

a Mostre que 1 , cos t , sin t é uma base ortogonal de W .

b Encontre a função de W que melhor aproxima a função f t = t - 1

Obs.: É dado que

0 2 π cos 2 t d t = 0 2 π sin 2 t d t = π

0 2 π t cos t d t = 0

0 2 π t sin t d t = - 2 π

Passo 1

a Para mostramos que 1 , cos t , sin t é base ortogonal de W , basta mostrarmos que são ortogonais. Então:

1 , cos t = 0 2 π cos t d t = sin t 0 2 π = 0

1 , sin t = 0 2 π sin t d t = - cos t 0 2 π = - 1 + 1 = 0

cos t , sin t = 0 2 π cos t sin t d t = u = sin t d u = cos t d t 0 0 u d u = 0

Como temos um conjunto gerador de W que é ortogonal, ele é uma base ortogonal de W .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b A função de W que melhor aproxima f t = t - 1 é simplesmente a projeção de f t sobre W ! E como 1 , cos t , sin t é uma base ortogonal de W , a projeção é dada por:

p r o j W f t = 1 , f t 1,1 1 + cos t , f t cos t , cos t cos t + sin t , f t sin t , sin t sin t

Calculando os produtos internos:

1 , f t = 0 2 π t - 1 d t = t 2 2 - t 0 2 π = 2 π 2 - 2 π

1,1 = 0 2 π 1 d t = 2 π

cos t , f t = 0 2 π f t cos t d t = 0 2 π t cos t d t - 0 2 π cos t d t = 0 - sin t 0 2 π = 0

cos t , cos t = 0 2 π cos 2 t d t = π

sin t , f t = 0 2 π f t sin t d t = 0 2 π t sin t d t - 0 2 π sin t d t = - 2 π + cos t 0 2 π = - 2 π

sin t , sin t = 0 2 π sin 2 t d t = π

Passo 3

Substituindo:

p r o j W f t = 2 π 2 - 2 π 2 π + 0 - 2 π π sin t

p r o j W f t = π - 1 - 2 sin t

Resposta

b g t = π - 1 - 2 sin t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas