Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2017.2, Questão 2

Seja H o plano gerado pelos vetores ( 2 ,   1 ,   - 2 ) e ( 2 ,   - 2 ,   1 ) . O vetor de H que está o mais próximo possível do vetor ( 5 ,   1 ,   1 ) é:

(a) ( 0 ,   - 3 ,   3 )

(b) ( 1 ,   2 ,   2 )

(c)   ( 4 ,   - 1 ,   - 1 )

(d) ( 0 ,   3 ,   - 3 )

Passo 1

Quando ele fala de um vetor mais próximo de outro em um certo espaço, ele tá nos pedindo a projeção desse vetor nesse espaço!

Vamos testar se temos uma base ortogonal pois isso facilita nossa vida:

2 ,   1 ,   - 2 2 ,   - 2 ,   1 = 4 - 2 - 2 = 0

É ortogonal, logo, posso usar a fórmula:

P H v = v , h 1 h 1 , h 1 h 1 + v , h 2 h 2 , h 2 h 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aplicar os vetores na fórmula:

P H v = 5,1 , 1 , 2,1 , - 2 2,1 , - 2 , 2,1 , - 2 ( 2,1 , - 2 ) + 5,1 , 1 , 2 , - 2,1 2 , - 2,1 , 2 , - 2,1 ( 2 , - 2,1 )

P H v = 9 9 2,1 , - 2 + 9 9 2 , - 2,1

P H v = ( 4 , - 1 , - 1 )

Resposta

c

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