Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

UFPE, Geometria Analítica, 1º EE - 2017.1, Questão Q4

Num triângulo A B C , considere o ponto D tal que D C = 3 A D , o ponto médio de B C , P , e o ponto Q sobre o lado A C tal que o triângulo P C Q é retângulo em Q .

Organizando as informações

A D + D C = A C   A D + 3 A D = A C 4 A D = A C

A D = 1 3 D C = 1 4 A C

a) Escreva B D como combinação linear de A B e B C .

b) Se, em alguma base ortonormal E tem-se A B = ( 2 ,   8 ,   8 ) E e D C = ( 3 ,   6 ,   9 ) E

b1) Calcule a área do triângulo A B C .

b2) Determine as coordenadas do vetor Q C na base E .

Passo 1

a) Olhando pra figura, a gente sabe que

B D = B A + A D

B D = - A B + 1 4 A C

B D = - A B + 1 4 ( A B + B C )

Agora temos B D em função de A B e B C :) vamos só dar uma arrumada pra ficar bonitinho:

B D = - A B + 1 4 A B + 1 4 B C

B D = - 3 4 A B + 1 4 B C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b1) Lembra que a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial? Então

A = | A B A C | 2

Os dados do enunciado falam pra gente que A C = 4 3 D C , então A C = 4 3 3 ,   6 ,   9 = ( 4 ,   8 ,   1 2 ) .

Primeiro vamos calcular o produto vetorial de A B com A C :

A B A C = i ^ j ^ k ^ 2 8 8 4 8 12 = 32 i ^ + 8 j ^ - 16 k ^

Passo 3

Agora vamos calcular o módulo do produto vetorial:

A B A C = 32 2 + 8 2 + ( - 16 ) ² = 1344 = 8 21

Então, a área do triângulo vai ser

A = 8 21 2 = 4 21

Passo 4

b2) O vetor Q C vai ser a projeção ortogonal de C P sobre C A (veja isso pela figura), ou seja:

Q C = P r o j C A C P = C P . C A C A . C A C A

Antes de tudo bora encontrar os vetores C P e C A :

Sabemos do item anterior que A C = ( 4 ,   8 ,   1 2 ) . C A vai ser o oposto disso, ou seja, C A = ( - 4 ,   - 8 ,   - 1 2 ) .

Como P é o ponto médio de C B , temos que C P = C B 2 , logo:

C P = C A + A B 2

C P = ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 ) + ( 2 ,   8 ,   8 ) 2

C P = ( - 1 ,   0 ,   2 )

Passo 5

Agora vamos calcular o vetor Q C :

Q C = ( - 1 ,   0 ,   2 ) . ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 ) - 4 ,   - 8 ,   - 12 . ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 ) ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 )

Q C = 4 - 24 16 + 64 + 144 ( - 4 ,   - 8 ,   - 12 )

Q C = 1 2 ,   1 , 3 2 E  

Resposta

a) B D = - 3 4 A B + 1 4 B C

b1) A = 4 21

b2) Q C = 1 2 ,   1 , 3 2 E

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