Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Assinale a distância do vetor 3 ,   2 ,   1 á sua reflexão ortogonal pelo plano de equação x - y + z = 0 :

  1. 2 2 3
  2. 4 3 3
  3. 2
  4. 5 3 2

Passo 1

Chuchu beleza galerinha bonita, queremos encontrar a distância do vetor 3 ,   2 ,   1 á sua reflexão ortogonal pelo plano de equação x - y + z = 0 :

Mas calma aí meu chefe, porque esse exercício é sagacidade pura. Saca só, vamos imaginar que a gente olhando pro nosso plano meio que “de lado”, e o nosso vetor em cima dele, mais ou menos assim:

Se a gente refletisse o vetor ortogonalmente, teríamos:

Portanto, a distância entre o vetor e a sua reflexão é:

Passo 2

Mas agora que começa a malandragem porque a gente não precisa calcular a reflexão e depois calcular a distância. Porque saca só, essa distância D pode ser dividida em duas:

Só que essa metade da distância, é exatamente igual a Projeção Ortogonal do vetor v → = 3 ,   2 ,   1 no complemento ortogonal do plano.

Então quer dizer que a distância D , pode ser expressa como:

D = 2 P r o j ⊥ v →

Passo 3

Agora ficou bonitinho, o complemento ortogonal da plano x - y + z = 0 , é exatamente os coeficientes que acompanham as varáveis:

x - y + z = 0

1 x + ( - 1 ) y + 1 z = 0

Logo o complemento ortogonal é 1 ,   - 1 ,   1 . Xuxu beleza, então a projeção de ( 3 ,   2 ,   1 ) em 1 ,   - 1 ,   1 é dada por:

P 1 ,   - 1 ,   1 3 ,   2 ,   1 = 3 ,   2 ,   1 , 1 ,   - 1 ,   1   1 ,   - 1 ,   1 , 1 ,   - 1 ,   1   1 ,   - 1 ,   1

P 1 ,   - 1 ,   1 3 ,   2 ,   1 = 2 3 1 ,   - 1 ,   1

Logo, a distância D é:

D = 2 P 1 ,   - 1 ,   1 3 ,   2 ,   1

D = 4 3 1 ,   - 1 ,   1

Portanto o módulo de D é:

D = 4 3 1 2 + - 1 2 + 1 2

D = 4 3 3

Resposta certa, letra (b)

Resposta

Letra (b).

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