Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere o produto interno usual de R 4 e calcule a distância entre o ponto 1 ,   1 ,   1 ,   1 e a reta gerada pelo vetor 1   2 ,   3 ,   4

  1. 3 2 .
  2. 3 3 .
  3. 2 3 .
  4. 2 .

Passo 1

Show de belezeras galerinha, queremos calcular a distância entre o ponto 1 ,   1 ,   1 ,   1 e a reta gerada pelo vetor 1   2 ,   3 ,   4 , ambos do R 4 .

Vamos devagarinho pessoal, como estamos em R 4 a parte visual fica um pouco comprometida. Mas a gente pode extrapolar um pouquinho e imaginar que o ponto e a reta no espaço são:

Portanto, a distância entre eles é:

Isso quer dizer que se por um acaso tivéssemos um ponto Q tal que:

Então poderíamos dizer que a distância é:

D = 1 ,   1 ,   1 ,   1 - Q

Passo 2

MAAASSS é aí que tá a malandragem, porque esse ponto Q é exatamente a projeção ortogonal de 1 ,   1 ,   1 ,   1 sobre a reta 1 ,   2 ,   3 ,   4 . Então encontrar Q é a mesma coisa que encontrar essa projeção ortogonal:

Q = P 1 ,   2 ,   3 ,   4 1 ,   1 ,   1 ,   1

E pra calcularmos a projeção de um ponto W em uma reta u → , temos a fórmula:

P u → W = W ,   u → u → ,   u → u →

Então passando para os nossos dados, temos que:

P 1 ,   2 ,   3 ,   4 1 ,   1 ,   1 ,   1 = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 1 ,   2 ,   3 ,   4

P 1 ,   2 ,   3 ,   4 1 ,   1 ,   1 ,   1 = 1 + 2 + 3 + 4 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 ² 1 ,   2 ,   3 ,   4

P 1 ,   2 ,   3 ,   4 1 ,   1 ,   1 ,   1 = 10 30 1 ,   2 ,   3 ,   4

P 1 ,   2 ,   3 ,   4 1 ,   1 ,   1 ,   1 = 1 3 1 ,   2 ,   3 ,   4

Então isso quer dizer que nosso ponto Q é:

Q = 1 3 1 ,   2 ,   3 ,   4

Passo 3

Xuxu beleza então, como vimos no Passo 1, a distância é medida pela relação:

D = 1 ,   1 ,   1 ,   1 - Q

E o ponto Q que encontramos é Q = 1 3 1 ,   2 ,   3 ,   4 , logo:

D = 1 ,   1 ,   1 ,   1 - 1 3 1 ,   2 ,   3 ,   4

D = 2 3 , 1 3 ,   0 ,   - 1 3

O módulo dessa distância é:

D = 2 3 2 + 1 3 2 + 0 2 + - 1 3 2

D = 4 9 + 1 9 + 1 9 = 6 9

D = 6 3

Calma lá galerinha, não tem essa resposta no enunciado, mas nada de pânico. Podemos fazer algumas mudancinhas na nossa resposta afim de encontrar alguma coisa legal. Saca só, podemos abrir a raiz quadrada do numerador, desse jeito:

D = 6 3 = 2 3 3

E podemos abrir o denominador, desse jeito:

D = 2 3 3 = 2 3 3 3

E num passe de mágica, cortamos as raízes e ficamos assim:

D = 2 3

Agoooora sim. Então quer dizer que nossa reposta é a alternativa (c).

Resposta

Letra (c).

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