Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Se A B C D E é um pentágono regular de lado 4 como na figura abaixo, determine

a) A B → .   E D → (Dado: cos ⁡ 36 ° = 1 + 5 4 )

b) O valor de λ para o qual P r o j A B → C D → = λ A B →

Passo 1

a) O vetor A B → é equivalente ao vetor E F → , só que agora com origem em E .

O triângulo D E C é isósceles, então usando as regrinhas lá de trigonometria, sabemos que o ângulo entre A B → e E D → é 180 ° - 108 ° 2 = 36 ° .

Então agora vamos só aplicar a formulazinha de produto escalar:

A B → . E D → = A B → . E D → . cos ⁡ 36 °

A B → . E D → = 4 . 4 . 1 + 5 4

A B → . E D → = 4 ( 1 + 5 )

Passo 2

b) O ângulo entre A B → e C D → é o suplementar de 36 ° , ou seja, 180 ° - 36 ° = 144 ° (o seu cosseno vai ser o oposto do cosseno de 36 ° )

Então vamos calcular a projeção de C D → em A B → :

P r o j A B → C D → = C D → . A B → A B → . A B → A B →

P r o j A B → C D → = C D → . A B → . cos ⁡ 144 ° A B → ² A B →

P r o j A B → C D → = 4.4 . - 1 + 5 4 4 ² A B →

P r o j A B → C D → = - 1 + 5 4 A B →

Então o λ que multiplica o vetor A B → no resultado da projeção é - 1 + 5 4 .

Resposta

a) 4 ( 1 + 5 )  

b) - 1 + 5 4

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