Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual. Se a e b forem os números reais tais que a 1,1 , 2,1 + b ( 1,1 , - 1,0 ) é a projeção ortogonal do vetor ( 1,1 , 4 , - 1 ) no subespaço [ 1,1 , 2,1 ,   ( 1,1 , - 1,0 ) ] , então a + b será igual a:

Escolha uma opção:

  1. 13 / 21
  2. 20 / 7
  3. 11 / 21
  4. 1 / 7
  5. 40 / 21

Passo 1

Faaaala, pessoal. A primeira coisa a se reparar é que:

1,1 , 2,1 ⋅ 1,1 , - 1,0 = 1 + 1 - 2 = 0

Logo, esses vetores sobre os quais se quer projetar são ortogonais entre si e com isto:

p r o j 1,1 , 2,1 ,   1,1 , - 1,0 1,1 , 4 , - 1 = p r o j 1,1 , 2,1 1,1 , 4 , - 1 + p r o j 1,1 , - 1,0 1,1 , 4 , - 1

= a 1,1 , 2,1 + b ( 1,1 , - 1,0 )

Onde

a = 1,1 , 4 , - 1 ⋅ 1,1 , 2,1 1,1 , 2,1 ⋅ 1,1 , 2,1 = 1 + 1 + 8 - 1 1 + 1 + 4 + 1 = 9 7        

    b = 1,1 , 4 , - 1 ⋅ ( 1,1 , - 1,0 ) 1,1 , - 1,0 ⋅ ( 1,1 , - 1,0 ) = 1 + 1 - 4 1 + 1 + 1 = - 2 3

Assim,

a + b = 9 7 - 2 3 = 13 21

Resposta

  1. 13 / 21

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]