Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere o produto interno

f ,   g = ∫ - 1 1 f t g t d t

Definido no espaço vetorial P 2 ( R ) , dos polinômios com grau menor ou igual a 2 , e seja S o subespaço de P 2 ( R ) gerado por p = t 2 - 1 . Se q = t + 2 , então a soma dos coeficientes de q - p r o j S q é igual a:

Escolha uma opção:

  1. - 2
  2. 0
  3. - 1
  4. 3
  5. 4
  6. 2

Passo 1

Faaaala, passageiro da agonia. Não criemos cânico! Projetar um elemento ( q ) num subespaço ( S ) gerado por um elemento tem essa formulazinha aqui:

p r o j S q = p r o j p q

= 〈 q , p 〉 〈 p , p 〉 p

Assim, só precisamos calcular as integrais dos produtos internos acima para determinar:

q - p r o j S q = q - 〈 q , p 〉 〈 p , p 〉 p

Passo 2

Certo, em primeiro lugar:

q , p = t + 2 ,   t 2 - 1 =

= ∫ - 1 1 ( t + 2 ) ( t 2 - 1 ) d t

= ∫ - 1 1 t 3 + 2 t 2 - t - 2   d t

= t 4 4 + 2 t 3 3 - t 2 2 - 2 t - 1 1

= 4 3 - 4

= - 8 / 3

Agora, em segundo lugar:

p , p =   t 2 - 1 ,   t 2 - 1 =

= ∫ - 1 1 (   t 2 - 1 ) ( t 2 - 1 ) d t

= ∫ - 1 1 t 4 - 2 t 2 + 1   d t

= t 5 5 - 2 t 3 3 + t - 1 1

= 2 5 - 4 3 + 2 = 16 15

Passo 3

Calculados os produtos internos, temos:

q - p r o j S q = q - 〈 q , p 〉 〈 p , p 〉 p

= t + 2 - ( - 8 / 3 ) 16 / 15 ( t 2 - 1 )

= t + 2 + 5 2 ( t 2 - 1 )

= 5 2 t 2 + t - 1 2

Agora, é hora de olhar o enunciado. Este pede a soma de seu coeficientes, dada por:

5 2 + 1 - 1 2 = 3

Resposta

d. 3

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