Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Sejam u → , v → , w → vetores de V 3 , com u →   = v →   = 2   e   w →   = 1   e tais que a medida do ângulo entre quaisquer dois vetores desses vetores seja igual a π 3 radianos. Então a projeção ortogonal de u → + v → + 2 w → sobre u → é igual a

Passo 1

Falaaaaa, tranquilo???? Vamos começar essa questãozinha envolvendo projeção de vetores.

Bom, primeiro vamos lembrar como se calcula a projeção de um vetor x →   s o b r e   o u t r o   y → :

P r o j x → y → = x → , y → y → 2 y →

Além disso, vamos lembrar algumas propriedades de produto escalar:

i )   x → , y → + w → = x → , y → + x → , w →  

i i )   x → , k y → = k x → , y →

Passo 2

Bom, então agora basta irmos para as contas...

Chamaremos de x → =   u → + v → + 2 w →

Já vimos que precisaremos fazer x → , u → =   u → + v → + 2 w → , u → =   u → , u → + v → , u → + 2 w → , u →

E pelo enunciado sabemos que u → , u → = 4 ;   v → , u → = 4 cos ⁡ π 3 = 2 ;   2 w → , u → = 2 2 cos ⁡ π 3 = 2

Passo 3

Substituindo:

P r o j x → u → = x → , u → u → 2 u → = 4 + 2 + 2 4 u → = 2 u →

Resposta

Letra D

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