Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere os planos π 1 : 2 x - y + z - 5 = 0 e π 2 : x + y + 2 z - 1 = 0 e o ponto P = ( 1 ,   0 ,   3 ) .

a) Escreva π 1 ∩ π 2 em equações paramétricas.

b) Determine o ângulo entre os planos π 1 e π 2 .

c) Determine a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π 2 .

Passo 1

a) A intersecção de π 1 com π 2 é dada pelo sisteminha:

2 x - y + z - 5 = 0 x + y + 2 z - 1 = 0

Somando as duas equações, temos

3 x + 3 z = 6

x = 2 - z

Substituindo isso na segunda linha, vamos ter

y = - 1 - z

Então, sendo z = λ o nosso parâmetro, nossa equação fica assim

π 1 ∩ π 2 :   x = 2 - λ y = - 1 - λ z = λ

Passo 2

b) O ângulo entre π 1 e π 2 vai ser o ângulo entre seus vetores normais. Sendo n 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   1 ) e n 2 → = ( 1 ,   1 ,   2 ) , vamos ter

cos ⁡ θ = n 1 → . n 2 → n 1 → . n 2 →

cos ⁡ θ = 2 - 1 + 2 6 . 6

cos ⁡ θ = 3 6 = 1 2

θ = arccos ⁡ 1 2

θ = 60 °

Passo 3

c) Seja a reta l ⊥ π 2 e que passa pelo ponto P . Uma equação vetorial de l é l : X = 1 ,   0 ,   3 + λ ( 1 ,   1 ,   2 ) .

O ponto P ' vai ser a intersecção da reta l com o plano π 2 .

Um ponto genérico de l é ( 1 + λ ,   λ ,   3 + 2 λ ) , vamos substituir esse ponto na equação do plano π 2 :

x + y + 2 z - 1 = 0

1 + λ + λ + 2 ( 3 + 2 λ ) - 1 = 0

λ = - 1

Substituindo esse λ no ponto genérico, vamos ter

P ' = ( 0 ,   - 1 ,   1 )

Resposta

a) π 1 ∩ π 2 :   x = 2 - λ y = - 1 - λ z = λ

b) θ = 60 °

c) P ' = ( 0 ,   - 1 ,   1 )

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