Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial qualquer munido de um produto interno . ,   . ,   e seja γ = v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 uma base ortonormal de V com relação a esse produto interno.

  1. Se u γ = a 1 a 2 a 3 a 4 e w γ = b 1 b 2 b 3 b 4 , explique como calcular u ,   w sem conhecer a expressão que define esse produto interno.
  2. Determine o ângulo entre v = v 1 + 2 v 2 - 2 v 4 e u = 3 v 1 - v 2 + 2 v 3 - v 4 .
  3. Determine a projeção ortogonal de u = 3 v 1 - v 2 + 2 v 3 - v 4 sobre v = v 1 + 2 v 2 - 2 v 4 .

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, o enunciado disse pra gente que V é um espaço vetorial que possui um produto interno . ,   . , e além disso, temos que γ = v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 é uma base ortonormal de V . Sabendo disso, na letra (a) ele deu pra gente dois vetores escritos nessa base γ :

u γ = a 1 a 2 a 3 a 4 ,     w γ = b 1 b 2 b 3 b 4

E pede pra gente explicar como calcular u ,   w sem conhecer a expressão que define esse produto interno.

Passo 2

Show de bola galerinha, geralmente a gente sempre tem um produto interno definido pelo enunciado. Por exemplo, o produto interno usual onde a gente multiplica termo a termo. Só que não é o que acontece aqui, pois o enunciado só garante pra gente que existe um produto interno definido, só não disse qual rsrs

MAAASSS, é agora que começa a malandragem, porque ele não nos deu o produto interno, mas ele nos deu outras informações muito interessantes. Por exemplo, ele diz que u e w , estão escritos na base γ , u γ e w γ , só que essa base γ é uma base ortonormal, isto é, todos os vetores são ortogonais entre si e de sobra o módulo deles é igual a 1. Ser ortogonal, quer dizer que o produto interno entre vetores distintos é igual a 0 :

v i ,   v j = 0 ,   ∀   i ≠ j

E agora ser ortonormal, quer dizer que além dos vetores serem ortogonais, o módulo deles é igual a 1 :

v i = 1

E para calcular um módulo, também usamos o produto interno, através da fórmula:

v i = v i ,   v i

Ou seja, a base γ em que os vetores u γ e w γ estão escritos, tem um produto interno muito bem sedimentado pelas características que ele carrega (ortonormalidade), dessa forma a expressão do produto interno não importa, o cálculo é exatamente como o produto interno usual/canônico.

Passo 3

Belezera, agora na letra (b), ele já deu uma cara para os nossos vetores v e u :

v = v 1 + 2 v 2 - 2 v 4           e             u = 3 v 1 - v 2 + 2 v 3 - v 4

Além disso, ele pede pra gente calcular o ângulo entre esses vetores. E pra fazermos isso, primeiro podemos escrever os vetores dessa forma:

v = 1 v 1 + 2 v 2 + 0 v 3 + - 2 v 4

u = 3 v 1 + - 1 v 2 + 2 v 3 + - 1 v 4

Assim, podemos representar somente os coeficientes que acompanham os vetores da base, logo:

  v γ = 1 2 0 - 2 ,     u γ = 3 - 1 2 - 1

Xuxu beleza galeris, agora precisamos lembrar que o ângulo θ entre dois vetores u e v é relacionado através da equação:

cos ⁡ θ = u ,   v u v

Onde u ,   v representa o produto interno entre os vetores u e v , e u v é a multiplicação entre a norma de u   e a norma de v . E como acabamos de ver na Letra (a), o produto interno para essa base γ dentro do espaço V é idêntico ao usual, então:

u ,   v = 3 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ,   2 ,   0 ,   - 2 = 1 3 + 2 - 1 + 0 2 + - 2 - 1

u ,   v = 3 - 2 + 0 + 2 = 3

E para as normas, temos que ‖ u ‖ :

v = u ,   u = 1 ,   2 ,   0 ,   - 2 , 1 ,   2 ,   0 ,   - 2 = 1 2 + 2 2 + 0 2 + - 2 2

u = 1 + 4 + 0 + 4 = 9 = 3

E para ‖ v ‖ :

u = v ,   v =   3 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 ,   3 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 = 3 2 + - 1 2 + 2 2 + - 1 2

v = 9 + 1 + 4 + 1 = 15

Passo 4

Portanto juntando tudo que encontramos na equação:

cos ⁡ θ = u ,   v u v

Temos que:

cos ⁡ θ = 3 3 15

cos ⁡ θ = 1 15

E aplicando a função inversa arccos ⁡   nos dois lados, obtemos:

arccos ⁡ cos ⁡ θ = arccos ⁡ 1 15

θ = arccos ⁡ 1 15

Portanto o ângulo entre os vetores u   e v é:

θ = arccos ⁡ 1 15

Passo 5

Show de bolinhas então pessoal, agora na letra (c), queremos encontrar o projeção ortogonal dos mesmo vetor = 3 v 1 - v 2 + 2 v 3 - v 4 sobre o vetor v = v 1 + 2 v 2 - 2 v 4 . E o bizu matador aqui, é a gente usar a fórmula da projeção ortogonal. Pra esse caso onde projetamos o vetor u no vetor v , temos:

P v u = u ,   v v ,   v v

E como a gente é malandro, já descobrimos o valor de u ,   v e de v ,   v no item (b):

u ,   v = 1 ,   2 ,   0 ,   - 2 ,   3 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 = 3

E para v ,   v , vimos que v = 3 , maass:

v = v ,   v

Logo:

v ,   v = 3 = 9

v ,   v = 9

Juntando tudo, temos que:

P v u = u ,   v v ,   v v = 3 9 v

P v u = 1 3 1 ,   2 ,   0 ,   - 2

Portanto:

P v u = 1 / 3 2 / 3 0 - 2 / 3

Resposta

  1. Explicação.
  2. θ = arccos ⁡ 1 15
  3. P v u = 1 / 3 2 / 3 0 - 2 / 3

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