Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere os vetores de R 3

v 1 = 1 ,   2 ,   0                                 v 2 = ( 0 ,   2 ,   1 )

d) Determine um vetor a paralelo a v 1 tal que o vetor

b = v 2 - a

Seja perpendicular a v 1 .

Observe que o vetor a é a projeção ortogonal de v 2 em v 1 . Aconselhamos fazer uma figura.

Passo 1

O vetor a é paralelo a v 1 , então ele pode ser escrito assim:

a = β . ( 1 ,   2 ,   0 )

Só precisamos descobrir esse tal de β agora hehe

Passo 2

b é perpendicular a v 1 , então

b . v 1 = 0

Mas b = v 2 - a = v 2 - β v 1 :

v 2 - β v 1 . v 1 = 0

v 2 . v 1 - β v 1 . v 1 = 0

v 2 . v 1 = β v 1 . v 1

Então:

β = v 2 . v 1 v 1 . v 1

β = 4 5

Então o vetor a é

a = 4 5 . ( 1 ,   2 ,   0 )

a = 4 5 , 8 5 ,   0

Resposta

a = 4 5 , 8 5 ,   0

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