Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Dados os planos π 1 e π 2 , a reta r e o ponto D :

π 1 : x - y + z - 2 = 0

π 2 : X = 3 ,   2 ,   0 + λ 1 ,   3 ,   0 + μ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

r : X = - 1 ,   - 4 ,   2 + λ ( 2 ,   4 ,   - 1 )

D = ( 2 ,   3 ,   2 )

Determine a projeção ortogonal do ponto D sobre o plano π 1 .

Passo 1

Vamos supor uma reta l que contenha o ponto D e seja perpendicular a π 1 . A projeção ortogonal de D em π 1 vai ser a intersecção de l com π 1 .

Como l é perpendicular a π 1 , seu vetor diretor vai ser o vetor normal de π 1 , ou seja, ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Logo, a equação vetorial de l é

l : X = 2 ,   3 ,   2 + λ ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Um ponto genérico de l é D ' = ( 2 + λ ,   3 - λ ,   2 + λ ) , vamos substituir esse ponto na equação de π 1 para acharmos a intersecção com l beleza?

Passo 2

Substituindo o ponto D ' na equação de π 1 :

( 2 + λ ) - ( 3 - λ ) + ( 2 + λ ) - 2 = 0

Daí temos que

λ = 1 3

Substituindo esse valor de λ no ponto genérico D ' , ele fica assim

D ' = 2 + 1 3 ,   3 - 1 3 ,   2 + 1 3 = 7 3 , 8 3 , 7 3

Esse ponto D ' é a projeção ortogonal do ponto D no plano π 1 :)

Resposta

D ' = 7 3 , 8 3 , 7 3

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