Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Seja W um subespaço de R ³ formado pelos vetores ( x , y , z ) tais que x + y = 0

a) Determine a projeção ortogonal dos vetores v 1 = ( 3 , - 3,8 ) e de v 2 = ( 1,2 , 3 ) sobre W

Passo 1

Fala pessoal! Bora pra mais uma!

Antes de qualquer coisa:

Temos um subespaço formado por vetores ( x , y , z ) , mas esses vetores cumprem com a condição de que

x + y = 0

Ou seja:

x = - y

Opa, então já sabemos que os vetores desse subespaço W podem ser escritos assim:

x , y , z = ( - y , y , z )

- y , y , 0 + 0,0 , z = y ∙ - 1,1 , 0 + z ∙ 0,0 , 1

Ou seja, o subespaço W é gerado pelos vetores:

w 1 = - 1,1 , 0

w 2 = ( 0,0 , 1 )

Passo 2

Nesse item, queremos encontrar a projeção ortogonal desses dois vetores no subespaço W :

v 1 = 3 , - 3,8

v 2 = 1,2 , 3

Lembrando que o subespaço W é gerado por:

w 1 = - 1,1 , 0

w 2 = ( 0,0 , 1 )

Quando queremos encontrar a projeção ortogonal de determinado vetor v em um subespaço gerado por w 1 e w 2 , vamos usar:

p r o j W v = v ∙ w 1 w 1 ∙ w 1 w 1 + v ∙ w 2 w 2 ∙ w 2 w 2

Então vamos aplicar essa fórmula para v 1 e v 2 😉

Passo 3

Para a projeção do vetor v 1 = ( 3 , - 3,8 ) sobre o subespaço W , vamos ter

p r o j W v 1 = v 1 ∙ w 1 w 1 ∙ w 1 w 1 + v 1 ∙ w 2 w 2 ∙ w 2 w 2

p r o j W v 1 = ( 3 , - 3,8 ) ∙ ( - 1,1 , 0 ) ( - 1,1 , 0 ) ∙ ( - 1,1 , 0 ) ( - 1,1 , 0 ) + ( 3 , - 3,8 ) ∙ ( 0,0 , 1 ) ( 0,0 , 1 ) ∙ ( 0,0 , 1 ) ( 0,0 , 1 )

Fazendo os produtos escalares:

p r o j W v 1 = - 3 - 3 1 + 1 ( - 1,1 , 0 ) + 8 1 ( 0,0 , 1 )

p r o j W v 1 = - 3 ∙ - 1,1 , 0 + 8 ∙ ( 0,0 , 1 )

p r o j W v 1 = 3 , - 3 , 0 + ( 0,0 , 8 )

Então, a projeção de v 1 no subespaço W é

p r o j W v 1 = ( 3 , - 3,8 )

Opa, é ele mesmo hahahaha

Repara que v 1 já pertence ao subespaço W , porque a soma de x + y é igual a 0 :

3 + - 3 = 0

Agora vamos pro w 2

Passo 4

Para a projeção do vetor v 2 = ( 1,2 , 3 ) sobre o subespaço W , vamos ter

p r o j W v 2 = v 2 ∙ w 1 w 1 ∙ w 1 w 1 + v 2 ∙ w 2 w 2 ∙ w 2 w 2

p r o j W v 2 = ( 1,2 , 3 ) ∙ ( - 1,1 , 0 ) ( - 1,1 , 0 ) ∙ ( - 1,1 , 0 ) ( - 1,1 , 0 ) + ( 1,2 , 3 )   ∙ ( 0,0 , 1 ) ( 0,0 , 1 ) ∙ ( 0,0 , 1 ) ( 0,0 , 1 )

Fazendo os produtos escalares:

p r o j W v 2 = - 1 + 2 1 + 1 ( - 1,1 , 0 ) + 3 1 ( 0,0 , 1 )

p r o j W v 2 = 1 2 ∙ - 1,1 , 0 + 3 ∙ ( 0,0 , 1 )

p r o j W v 2 = - 1 2 , 1 2 , 0 + ( 0,0 , 3 )

Então, a projeção de v 2 no subespaço W é

p r o j W v 2 = - 1 2 , 1 2 , 3

E fechouuu! Arrasamos!

Resposta

p r o j W v 1 = ( 3 , - 3,8 )

p r o j W v 2 = - 1 2 , 1 2 , 3

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