Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Considere fixada uma base ortonormal de V 3 em relação à qual são dadas coordenadas de vetores. Sejam

a = 1 , - 1 , - 1

b = 0 , - 2,1

c = 1 , - 1,0

Seja u = x , y , z o vetor que satisfaz as seguintes condições:

- u tem norma 3

- u é ortogonal a c

- p r o j a u = 1 3 , - 1 3 , - 1 3

- o ângulo entre u e b é agudo

Então, x + 2 y + 3 z é igual a

a) - 6

b) - 2

c) 6

d) 2

e) 4

f) - 4

Passo 1

Cara, vamos lá que essa vai ser divertida e vamos resolver juntos :P

Antes de tudo, conheça esses 3 vetores:

a = 1 , - 1 , - 1

b = 0 , - 2,1

c = 1 , - 1,0

Certo?

Aí a gente tem um outro vetor que é u = ( x , y , z ) , e a gente sabe algumas informações sobre ele. Vamos analisar cada uma:

- u tem norma 3 → u = 3

- u é ortogonal a c → u ∙ c = 0

- p r o j a u = 1 3 , - 1 3 , - 1 3 → u ∙ a a ∙ a . a = 1 3 , - 1 3 , - 1 3

- o ângulo entre u e b é agudo → u ∙ b > 0

E o nosso objetivo é encontrar a relação x + 2 y + 3 z das coordenadas de u , vamos lá!!!

Passo 2

Primeiramente, sabemos que o módulo de u vale 3 . Ou seja:

x , y , z = 3

x 2 + y 2 + z 2 = 3

x 2 + y 2 + z 2 = 3     I

Belezinha, vamos guardar essa equação que ela vai ser útil logo menos hehehe

Passo 3

Também sabemos que o vetor u é ortogonal ao vetor c = 1 , - 1,0 . Isso significa que o produto escalar entre eles deve ser 0 :

x , y , z . 1 , - 1,0 = 0

x - y = 0

Logo:

x = y

Ebaaa, já sabemos que as duas primeiras coordenadas são iguais

Passo 4

Agora vamos falar de projeção ortogonal, temos que p r o j a u = 1 3 , - 1 3 , - 1 3 . Ou seja, a projeção ortogonal de u no vetor a = 1 , - 1 , - 1 vale 1 3 , - 1 3 , - 1 3

Usando a fórmula de projeção ortogonal, então, temos que

u ∙ a a ∙ a . a = 1 3 , - 1 3 , - 1 3

Substituindo os vetores:

x , y , z . 1 , - 1 , - 1 1 , - 1 , - 1 . 1 , - 1 , - 1 . 1 , - 1 , - 1 = 1 3 , - 1 3 , - 1 3

x - y - z 1 + 1 + 1 . 1 , - 1 , - 1 = 1 3 , - 1 3 , - 1 3

x - y - z 3 . 1 , - 1 , - 1 = 1 3 , - 1 3 , - 1 3

Então vamos multiplicar x - y - z 3 pelo vetor 1 , - 1 , - 1

x - y - z 3 , - x + y + z 3 , - x + y + z 3 = 1 3 , - 1 3 , - 1 3

Igualando as coordenadas, temos que

x - y - z 3 = 1 3 - x + y + z 3 = - 1 3 - x + y + z 3 = - 1 3

Bom, dividindo todas as equações por 3 , as três equações estão falando a mesma coisa:

x - y - z = 1

Como x = y (lá do passo anterior), temos que

x - x - z = 1

Então:

z = - 1

Opaaa! Já temos uma das coordenadas do vetor u :P

Passo 5

Por fim, temos que o ângulo entre o vetor u e o vetor b = 0 , - 2,1 é agudo, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser positivo:

u . b > 0

x , y , z . 0 , - 2,1 > 0

- 2 y + z > 0

Como z = - 1 , temos

- 2 y - 1 > 0

2 y < - 1

y < - 1 2

Ok, sabemos que y deve ser menor que - 1 2 hahaha e consequentemente o x também, porque eles são iguais

Agora vamos voltar lá na equação ( I ) e usar tudo o que temos até agora

Passo 6

Sabemos que

x 2 + y 2 + z 2 = 3

Como x = y e z = - 1 , temos

y 2 + y 2 + - 1 2 = 3

2 y 2 + 1 = 3

2 y 2 = 2

y 2 = 1

Então

y = ± 1

Masss, do passo anterior, sabemos que y < - 1 2 , então só vamos pegar o negativo:

y = - 1 = x

Portanto, as coordenadas do vetor u são

u = x , y , z = - 1 , - 1 , - 1

E então:

x + 2 y + 3 z = - 1 - 2 - 3 = - 6

A alternativa correta é a letra A 😊

Resposta

a) -6

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]