Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Em um base ortonormal positiva β = ( i → ,   j → ,   k → ) são dados os vetores u → = ( 3 ,   3 ,   1 ) , v → = 6 ,   2 ,   3 e w → = ( 1 ,   5 ,   1 ) .

  1. Mostre que a sequência ( u → ,   v → ,   w → ) é L I .
  2. Determine λ tal que P r o j v × u w → = λ v → × u →

Passo 1

  1. Então, galera, pra mostrar que é linearmente independente, é só a gente mostrar que o produto misto é diferente de zero!
  2. u → , v → , w → = 3 3 1 6 2 3 1 5 1 = 6 + 9 + 120 - 8 - 45 - 18

    u → , v → , w → = - 20 ≠ 0

    Portanto, ( u → ,   v → ,   w → ) é L I !

    Passo 2

  3. Vamos por partes. Primeiro vamos calcular esse produto vetorial.

v → × u → = i → j → k → 6 2 3 3 3 1 = - 7 ,   - 3 ,   12

A projeção de um vetor em outro já tem fórmula prontinha!

P r o j v × u w → = w → ⋅ v → × u → v → × u → 2 v → × u →

Calculando o denominador:

v → × u → 2 = - 7 2 + - 3 2 + 12 2 = 202

E agora o numerador:

w → ⋅ v → × u → = 1,5 , 1 ⋅ - 7 ,   - 3 ,   12 = - 7 - 15 + 2

w → ⋅ v → × u → = - 20

Beleza, falta só substituir!

P r o j v × u w → = - - 20 202 - 7 , - 3,12

Como ele disse,

P r o j v × u w → = λ v → × u →

- - 20 202 - 7 , - 3,12 = λ - 7 , - 3,12

λ = 20 202 = 10 101

Resposta

  1. ( u → ,   v → ,   w → ) é L I

λ = 10 101

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