Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere o ponto A = ( 1 ,   - 1 ,   3 ) e o plano π : y - z = 0 . Determine

a) A projeção ortogonal de A sobre π .

b) O ponto simétrico de A em relação a π .

Passo 1

a) A projeção ortogonal de A no plano π vai ser um ponto A ' que é a intersecção do plano com uma reta s perpendicular a ele que passe pelo ponto A .

Para que essa reta seja perpendicular a π , seu vetor diretor deve ser um vetor normal do plano certo? Logo:

s : X = 1 ,   - 1 ,   3 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Passo 2

Beleza, agora que temos a reta vamos encontrar s ∩ π . Um ponto genérico de s é A ' = ( 1 ,   - 1 + λ ,   3 - λ ) , vamos substituir esse ponto na equação do plano:

( - 1 + λ ) - ( 3 - λ ) = 0

λ = 2

Substituindo no ponto A ' , vamos ter

A ' = ( 1 ,   1 ,   1 )

Abaixo vemos em azul claro o plano π , em preto a reta s e em azul escuro os pontos A e A ' .

Passo 3

b) O ponto simétrico de A em relação a π vai ser o ponto A 1 tal que

A 1 = A ' + A A ' →

Por propriedades de vetores, isso nos dá

A 1 = A ' + A ' - A

A 1 = 2 A ' - A

A 1 = 2 1 ,   1 ,   1 - ( 1 ,   - 1 ,   3 )

A 1 = ( 1 ,   3 ,   - 1 )

Abaixo temos a inclusão do ponto A 1 , que podemos reparar que é, de fato, simétrico a A em relação ao plano.

Resposta

a) A ' = ( 1 ,   1 ,   1 )

b) A 1 = ( 1 ,   3 ,   - 1 )

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