Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere um tetraedro A B C D tal que, em alguma base ortonormal D A → = ( - 1 ,   1 ,   1 ) , D B → = 1 3 ( 1 ,   5 ,   - 1 ) , M é um ponto da aresta A B , C M → = ( 1 ,   2 ,   2 ) e M D → = 1 3 ( 1 ,   - 4 ,   - 1 ) .

a) Calcule o volume do tetraedro A B C D .

b) Determine o vetor p → = P r o j M C → M D → .

c) Mostre que ( p → ,   M D → - p → ,   M A → ) é uma base ortonormal.

Passo 1

a) O volume do tetraedro vai ser dado por 1 6 do produto misto de D A → , D B → e D C → , ou seja:

V t = 1 6 | D A → ,   D B → ,   D C → |

Mas peraí, não temos o vetor D C → , então vamos encontrar:

D C → = D M → + M C →

D C → = - 1 3 1 ,   - 4 ,   - 1 - ( 1 ,   2 ,   2 )

D C → = - 1 3 4 ,   2 ,   5

Passo 2

Belezinha, agora podemos fazer aquele produto misto:

D A → ,   D B → ,   D C → = - 1 3 . 1 3 - 1 1 1 1 5 - 1 4 2 5

D A → ,   D B → ,   D C → = - 1 9 - 25 - 4 + 2 - 20 - 2 - 5 = 6

Agora, sabendo que V t = 1 6 | D A → ,   D B → ,   D C → | , temos que

V t = 6 6 = 1

Passo 3

b) p → vai ser a projeção de M D → em M C → , ou seja:

p → = P r o j M C → M D → = M D → . M C → M C → . M C → M C →

p → = 1 3 1 ,   - 4 ,   - 1 . - 1 ,   - 2 ,   - 2 - 1 ,   - 2 ,   - 2 . - 1 ,   - 2 ,   - 2 - 1 ,   - 2 ,   - 2

p → = 1 3 - 1 + 8 + 2 ( 1 + 4 + 4 ) - 1 ,   - 2 ,   - 2

p → = 3 9 - 1 ,   - 2 ,   - 2 = 1 3 - 1 ,   - 2 ,   - 2

Passo 4

c) Os vetores que temos aqui ( p → ,   M D → - p → ,   M A → ) são:

p → = 1 3 - 1 ,   - 2 ,   - 2

M D → - p → = 1 3 1 ,   - 4 ,   - 1 - 1 3 - 1 ,   - 2 ,   - 2 = 1 3 ( 2 ,   - 2 ,   1 )

M A → = M D → + D A → = 1 3 2 ,   - 2 ,   1 + - 1 ,   1 ,   1 = 1 3 ( - 2 ,   - 1 ,   2 )

Para que esses 3 vetores formem uma base ortonormal, todos eles devem ter módulo 1 e devem ter 90 ° entre si, ou seja, o produto interno de um com o outro deve sempre ser 0 .

Primeiro vamos encontrar o módulo de cada um:

p → = 1 3 1 2 + 2 2 + 2 ² = 1 3 9 = 3 3 = 1

M D → - p → = 1 3 2 2 + 2 2 + 1 ² = 3 3 = 1

M A → = 1 3 2 2 + 1 2 + 2 ² = 3 3 = 1

Boa!! Já provamos que todos eles têm módulo 1! Agora vamos fazer o produto interno entre eles dois a dois pra provarmos que sempre vai dar 0!!

Passo 5

Fazendo os produtos internos:

p → . M D → - p → = 1 3 - 1 ,   - 2 ,   - 2 . 1 3 2 ,   - 2 ,   1 = 1 3 - 2 + 4 - 2 = 0 3 = 0

M D → - p → . M A → = 1 3 2 ,   - 2 ,   1 . 1 3 - 2 ,   - 1 ,   2 = 1 9 - 4 + 2 + 2 = 0

M A → . p → = 1 3 - 2 ,   - 1 ,   2 . 1 3 - 1 ,   - 2 ,   - 2 = 1 9 2 + 2 - 4 = 0

Legal!! Todos os produtos internos deram 0!!

Ta provado que todos esses vetores têm norma 1 e são ortogonais entre si, então, de fato, formam uma base ortonormal!!

Resposta

a) V t = 1

b) p → = 1 3 - 1 ,   - 2 ,   - 2

c) Demonstração.

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