Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere os vetores u → com norma 2 , v → com norma 3 e tais que A n g u → , v → = 45 ° . Se w → = u → ∧ v → e

t → = P r o j v → u → + P r o j u → v → + w →

Determine as coordenadas de t → na base β = { u → ,   v → ,   w → } .

Passo 1

Ora ora, se não é um probleminha de projeção ortogonal hehe

Então vamos ver, o problema falou pra gente que o vetor t → vai ser a soma das projeções de u → em v → e de v → em u → e isso tudo somado com o vetor w → , que é o produto vetorial de u → com v → .

A fórmula de projeção é

P r o j v → u → = u → . v → v → . v → v →

P r o j u → v → = v → . u → u → . u → u →

Como a gente quer as coordenadas de t → na base β , vamos escrever ele em função de u → , v → e w → .

Vamos ao que interessa então ok?

Passo 2

Vamos começar calculando a projeção de u → em v →

P r o j v → u → = | u → | . v → . c o s ⁡ ( 45 ° ) | v → | ² v →

P r o j v → u → = 3 3 v →

Agora é vez da projeção de v → em u →

P r o j u → v → = | v → | . u → . c o s ⁡ ( 45 ° ) u → ² u →

P r o j u → v → = 3 2 u →

Passo 3

Ok, a gente sabe que

t → = P r o j v → u → + P r o j u → v → + w →

Então

t → = 3 3 v → + 3 2 u → + w →

Legal! Agora temos t → escrito na base β = ( u → ,   v → ,   w → ) :

t → = 3 2 ,   3 3 ,   1

Resposta

t → = 3 2 ,   3 3 ,   1

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