Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Sabemos que v é um vetor de R 3 e as projeções ortogonais de v nos vetores u 1 e u 2 são respectivamente 1,0 , 2 e 2,1 , 1 . Considere as afirmativas:

  1. A projeção ortogonal do vetor v no subespaço gerado por u 1 , u 2 é 3,1 , 1
  2. Se v não pertencer ao subespaço gerado por u 1 , u 2 então v , u 1 , u 2 formam uma base para o R 3

a   A afirmativa I é falsa e a I I é falsa

b   A afirmativa I é verdadeira e a I I é verdadeira

c   A afirmativa I é falsa e a I I é verdadeira

d   A afirmativa I é verdadeira e a I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Temos que:

p r o j u 1 v = 1,0 , 2

p r o j u 2 v = 2,1 , 1

Logo, faz sentido afirmarmos que 1 , 0,2 tem a mesma direção de u 1 e 2,1 , 1 tem a mesma direção de u 2 .

Logo,

1,0 , 2 , 2,1 , 1 = u 1 , u 2

Beleza, mas repare que 3 , 1,1 não pode ser escrito como combinação linear de 1,0 , 2 e 2,1 , 1 !

3,1 , 1 = a 1,0 , 2 + b 2,1 , 1

Como 1 , 0,2 possui um 0 na segunda coordenada, para conseguirmos o 1 na segunda coordenada de 3,1 , 1 precisamos que b = 1 , logo:

3,1 , 1 = a 1,0 , 2 + 2,1 , 1

1,0 , 0 = a 1,0 , 2

Como não existe a que resolva esse sistema, 3 , 1,1 não pertence ao subespaço gerado por u 1 , u 2 e, portanto, nunca poderia ser a projeção ortogonal do vetor v nesse subespaço.

Passo 2

Afirmativa I I :

Como vimos no último passo,

1,0 , 2 , 2,1 , 1 = u 1 , u 2

E como 1 , 0,2 , 2,1 , 1 é um plano, u 1 , u 2 também será um plano. Então sabemos que u 1 e u 2 são L I .

Se v não pertencer ao subespaço gerado por u 1 , u 2 então   v , u 1 , u 2 é um conjunto de 3 vetores L I no R 3 . Então, por definição, v , u 1 , u 2 é uma base do R 3 .

Resposta

Letra c

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