Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Seja W ⊂ R 4 o subespaço vetorial W = g e r { 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   3 ,   1 ,   3 ,   1 ] .

a) Encontre uma base ortogonal para W ⊥ .

b) Determine a expressão de P r o j W ⊥ ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ) .

Passo 1

a) Antes de tudo vamos encontrar W ⊥ , o complemento ortogonal de W .

Vamos considerar ( a ,   b ,   c ,   d ) um vetor qualquer de W ⊥ . Para que ele seja complemento ortogonal de W , seu produto interno com os vetores da base de W deve ser 0:

a ,   b ,   c ,   d . 1 ,   1 ,   1 ,   1 = 0 → a + b + c + d = 0 a ,   b ,   c ,   d . 3 ,   1 ,   3 ,   1 = 0 → 3 a + b + 3 c + d = 0

Da equação de cima, temos que b = - a - c - d * .

Substituindo isso na equação de baixo, chegamos que 2 a + 2 c = 0 → a = - c .

Então, voltando para * vamos ter que b = c - c - d → b = - d .

Logo, nosso vetor genérico de W ⊥ pode ser escrito assim:

- c ,   - d ,   c ,   d = c - 1 ,   0 ,   1 ,   0 + d 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 = g e r [ - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 ]

Como os vetores - 1 ,   0 ,   1 ,   0 e 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 são L.I. (observe que eles não são múltiplos), eles formam uma base para W ⊥ :D

Então a base de W ⊥ vai ser B = { - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 } .

Passo 2

b) A projeção de ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ) em W ⊥ vai ser a soma da projeção de x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 em - 1 ,   0 ,   1 ,   0 com sua projeção em 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 , assim:

P r o j W ⊥ x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 ,   0 + x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 0 ,   - 1 ,   0 ,   1

Resposta

a) B = { - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 }

b) P r o j W ⊥ x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 ,   0 + x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   1 0 ,   - 1 ,   0 ,   1

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