Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Seja S o plano gerado por v 1 = ( 1,2 , 1 ) e v 2 = ( 2 , - 1,2 ) . A projeção ortogonal de w = ( 4,1 , 2 ) sobre S vale:

(a) 3,1 , 3

(b) 2,1 , 2

(c) 4,1 , 4

(d) 1,1 , 1

Passo 1

Primeiro vamos lembrar que podemos decompor qualquer vetor v em um dado espaço V em duas componentes: um vetor v ∥ no próprio espaço V e outro vetor v ⊥ no complemento ortogonal de V:

v = v ∥ + v ⊥

Nessa questão, o espaço em que queremos projetar é um plano S.

Sabemos que o complemento ortogonal do plano é uma reta, com direção dada pela direção do vetor normal n do plano.

Podemos então calcular a projeção ortogonal do vetor w dado na direção de n (complemento ortogonal do plano S), que vai ser o w ⊥ .

A gente pode fazer isso usando que:

P w ⊥ w = P n w = < w , n > < n , n > n

Depois é só usar a relação que falei antes pra achar a projeção ortogonal do vetor w no plano S!

Passo 2

A questão deu pra gente dois vetores que geram o plano, que são v 1 = ( 1,2 , 1 ) e v 2 = ( 2 , - 1,2 ) .

Então podemos usar eles para achar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial:

n = v 1 × v 2

n = î j ^ k ^ 1 2 1 2 - 1 2

n = ( 5,0 , - 5 )

Passo 3

Fazendo agora a projeção de w = ( 4,1 , 2 ) na direção de n , vamos ter:

P n w = < w , n > < n , n > n = < 4,1 , 2 , 5,0 , - 5 > < 5,0 , - 5 , 5,0 , - 5 > 5,0 , - 5

w ⊥ = ( 1,0 , - 1 )

Agora para achar o w   ∥ , basta substituir na relação:

w = w ∥ + w ⊥

4,1 , 2 = w ∥ + 1,0 , - 1

w ∥ = 3,1 , 3

Resposta

(a) 3,1 , 3

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