Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Seja P   :   R 3 →   R ³ a transformação linear que é a projeção ortogonal sobre o plano Π de equação x + 2 y = 0 .

E seja P   :   R 3 →   R ³ a transformação afim que é a projeção ortogonal sobre o plano Π ' de equação x + 2 y = 15 .

  1. Mostre que a transformação P é definida pela matriz
  2. P = 1 5 4 - 2 0 - 2 1 0 0 0 5

  3. Determine a projeção ortogonal de ( 1,1 , 0 ) no plano Π .
  4. Determine o posto e a nulidade de [ P ] do item (a).
  5. Encontre três vetores v 1 , v 2 e v 3 satisfazendo simultaneamente:
  6. v 1 , v 2 e v 3 são três autovetores distintos de P;

    v 1 ⊥ v 2 , v 2 ⊥ v 3 e v 3 ⊥ v 1 .

  7. Determine a projeção ortogonal de 0,0 , 0 no plano Π ' .
  8. Determine a expressão para F , ou seja, determine F ( x , y , z )

Passo 1

a)

Como a TL em questão é uma projeção ortogonal em um plano que passa na origem, precisamos ter em mente que os vetores desse plano serão mantidos pela transformação e que os vetores ortogonais ao plano serão levados na origem.

Devemos então começar achando uma base de vetores.

Passo 2

Conseguir os vetores do plano.

x + 2 y = 0

x = - 2 y

Substituindo:

x , y , z = - 2 y , y , z = - 2 y , y , 0 + 0,0 , z = y - 2,1 , 0 + z 0,0 , 1

Então temos - 2,1 , 0 e ( 0,0 , 1 ) como vetores LI no plano.

Passo 3

Conseguir o vetor ortogonal ao plano.

Para isso, basta montarmos um vetor com os coeficientes da equação do plano:

x + 2 y + 0 z = 0 → ( 1,2 , 0 )

Passo 4

Precisamos agora achar a expressão para esta TL.

Para isso, escreveremos ( x , y , z ) como combinação da base que acabamos de achar:

i           x , y , z = a - 2,1 , 0 + b 0,0 , 1 + c 1,2 , 0

Aplicaremos a projeção dos 2 lados:

P x , y , z = a P - 2,1 , 0 + b P 0,0 , 1 + c P 1,2 , 0

Sabemos que os vetores que estão no plano, não serão alterados e que o vetor normal será levado ao vetor nulo, logo:

i i                           P x , y , z = a - 2,1 , 0 + b 0,0 , 1 + c ( 0,0 , 0 )

Iremos agora calcular a ,   b , c da equação ( i ) e substituir em i i .

Temos o sistema:

x = - 2 a + c y = a + 2 c z = b

Passo 5

Multiplicando a segunda equação por 2 e somando na primeira, obteremos rapidamente o valor de c e por substituição os demais:

x + 2 y = 5 c

c = x 5 + 2 y 5

a = y - 2 c

a = - 2 x 5 + y 5

b = z

Agora substituindo em i i :

P x , y , z = 4 x 5 - 2 y 5 , - 2 x 5 + y 5 , 0 + 0,0 , z

P x , y , z = 4 x 5 - 2 y 5 , - 2 x 5 + y 5 , z

P x , y , z = 1 5 4 x - 2 y , - 2 x + y , 5 z

Depois de todo este trabalho, agora só falta colocar esses coeficientes nas linhas da matriz:

P = 1 5 4 - 2 0 - 2 1 0 0 0 5

Passo 6

b)

Este aqui é bem tranquilo, já temos a Matriz que transforma, para projetar esse vetor basta multiplicá-lo pela matriz:

1 5 4 - 2 0 - 2 1 0 0 0 5 . 1 1 0 = 2 / 5 - 1 / 5 0

Passo 7

c)

Como a Matriz do item a) representa uma projeção ortogonal em um plano, ela tem como imagem o plano, que possui dimensão 2. E como núcleo a reta ortogonal ao plano, que possui dimensão 1.

Logo: P o s t o = D I M I m = 2

N u t i l i d a d e = D I M N = 1

Passo 8

d)

Nessa aqui demos sorte né?

Os 3 vetores que achamos inicialmente já se enquadram nas condições pedidas: v 1 = - 2,1 , 0

v 2 = 0,0 , 1

v 3 = 1,2 , 0

Pois são autovetores de autovalor 1, 1 e 0 ,respectivamente, e também:

v 1 , v 2 = v 2 , v 3 = v 3 , v 1 = 0

Obs:O terceiro vetor é o ortogonal ao plano, então ele já seria normal aos outros, porém, caso não déssemos sorte com o primeiro e o segundo, e eles não fossem perpendiculares de cara, poderíamos aplicar o seguinte método de ortogonalização:

u 1 = v 1

u 2 = v 2 - v 2 , v 1 v 1 v 1 , v 1

Ai os vetores u 1 , u 2 ,   v 3 seriam a resposta da questão.

Passo 9

e)

Bom, essa transformação F projeta num plano muito parecido com o da transformação P , pois eles têm o mesmo vetor normal, a única diferença é que ele está deslocado.Então basta projetarmos no plano por P e deslocarmos depois.

Vamos então calcular esse deslocamento:Ele precisa tanto satisfazer a equação do plano, quando ter a direção normal, já que a projeção é ortogonal.

x + 2 y = 15 x , y , z = ( t , 2 t , 0 )

Passo 10

Teremos então:

t + 4 t = 15

t = 3

Logo nosso vetor deslocamento será:

d = 3,6 , 0

Concluindo então temos que:

F 0,0 , 0 = P 0,0 , 0 + 3,6 , 0 = 0,0 , 0 + 3,6 , 0 = 3,6 , 0

Passo 11

f)

Generalizando o item anterior, ou seja, vamos usar ( x , y , z ) no lugar de ( 0,0 , 0 ) :

F x , y , z = P x , y , z + 3,6 , 0

F x , y , z = 1 5 4 - 2 0 - 2 1 0 0 0 5 . x y z + 3 6 0

Resposta

b) 2 5 , - 1 5 , 0

c) P o s t o = 2 e N u t i l i d a d e = 1

d)   v 1 = - 2,1 , 0 ,   v 2 = 0,0 , 1 , v 3 = 1,2 , 0

e) 3,6 , 0

f) F x , y , z = 1 5 4 - 2 0 - 2 1 0 0 0 5 . x y z + 3 6 0

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]