Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Seja o vetor ( x , y , z ) o resultado da projeção ortogonal do vetor ( 11,5 , 5 ) sobre o plano x - 3 y - 2 z = 0 .   Então x vale:

(a) 12

(b) 13

(c) 14

(d) 15

Passo 1

Primeiro vamos lembrar que podemos decompor qualquer vetor v de um dado espaço V em duas componentes: um vetor v ∥ no próprio espaço V e outro vetor v ⊥ no complemento ortogonal de V:

v = v ∥ + v ⊥

Nessa questão, o espaço em que queremos projetar é o plano x - 3 y - 2 z = 0 .

Sabemos que o complemento ortogonal do plano é uma reta, com direção dada pela direção do vetor normal n do plano.

Podemos então calcular a projeção ortogonal do vetor v dado na direção de n (complemento ortogonal do plano), que vai ser o v ⊥ .

A gente pode fazer isso usando que:

P V ⊥ v = P n v = < v , n > < n , n > n

Depois é só usar a relação que falei no início pra achar a projeção ortogonal do vetor v no plano!

Passo 2

Quando temos a equação geral do plano, as coordenadas ( a , b , c ) de um vetor normal ao plano são dadas pelos coeficientes que multiplicam o x, y e o z da equação.

Logo, o vetor normal ao plano dado é:

n = 1 , - 3 , - 2

Como v = ( 11,5 , 5 ) , substituindo na fórmula de projeção:

P n v = < v , n > < n , n > n

P n v = < ( 11,5 , 5 ) , 1 , - 3 , - 2 > < 1 , - 3 , - 2 , 1 , - 3 , - 2 > 1 , - 3 , - 2

P n v = - 1 1 , - 3 , - 2

P n v = ( - 1,3 , 2 )

Passo 3

Como:

v = v ∥ + v ⊥

∴ v = v ∥ + v ⊥

11,5 , 5 = v ∥ + - 1,3 , 2

v ∥ = 11,5 , 5 - - 1,3 , 2

v ∥ = 12,2 , 3

E a coordenada x desse vetor vale 12.

Resposta

(a) 12

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]