Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

Lista 2 para a p2, Álgebra Linear I, 2015.1, exercício 7 adaptado, PUC-rio.

Sejam Equation um subespaço vetorial, Equation a projeção ortogonal sobre Equation e Equation :

Equation mostre que Equation ;

Equation mostre que o conjunto Equation é ortogonal para todo Equation .

Passo 1

Equation Bom, vamos lembrar aqui que se algo pertence ao complemento ortogonal, então:

Equation

Equation

Mas como Equation , então Equation e assim:

Equation

Equation

Como Equation , a letra Equation está provada XD.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Equation Agora temos que verificar se o conjunto é ortogonal. Então, se ele é ortogonal, o produto interno entre seus elementos dará zero. Vamos fazer isso.

Equation

Equation

Agora vamos aplicar que Equation :

Equation

Nós realmente esperávamos que o resultado desse zero, porque assim vemos que eles são ortogonais entre si.

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