Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2012.2, questão 3, item b

Seja f x , y uma função com derivadas parciais f x x . f y y , f x y = f y x contínuas. Sejam

x u , v = ln 1 + u 2 + v 2

y u , v = e u + v sen u v

E

g u , v = f x u , v , y u , v

Assuma que

f ln 2 , 0 = 1 ,       f x ln 2 , 0 = 2 ,       f y ln 2 , 0 = e - 1

Sabendo que

f x x ln 2 , 0 = a ,       f x y ln 2 , 0 = b ,       f y y ln 2 , 0 = c

Calcule g v v 0,1 em função de a , b e c .

Passo 1

Vamos começar achando o gradiente de g v , depois é só pegar a expressão e derivar de novo em relação a v .

Ele disse que

g u , v = f x u , v , y u , v

Então para acharmos a primeira derivada parcial de g , vamos usar a fórmula da regra da cadeia

g v = f x x u , v , y u , v . x v u , v + f y x u , v , y u , v . y v u , v

Fica atento aos valores que vamos usar, para f usamos   x u , v , y u , v e para x e y usamos u , v .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para g v

g v = f x x u , v , y u , v . x v u , v + f y x u , v , y u , v . y v u , v

Nós temos as funções x u , v e y u , v , vamos as derivadas

x v = 1 + u 2 + v 2 ' 1 + u 2 + v 2 = 2 v 1 + u 2 + v 2

E

y v = e u + v sen u v + e u + v cos u v u = e u + v sen u v + e u + v u cos u v

Para a derivada que queremos temos que achar x u , v , y u , v em u , v ,

x u , v , y u , v = ln 1 + u 2 + v 2 , e u + v sen u v

Temos que fazer a derivada para um u , v quaisquer para só no final substituir o valor de u , v que ele pediu.

Passo 3

Feiosinho essa parada né? Vamos derivar essa zona em relação a v , aplicando a regra da cadeia

2 g v 2 = v g v = v f x x v + f y y v

v f x x v + v f y y v

v f x x v + f x v x v + v f y y v + f y v y v

v f x x v + f x 2 x v 2 + v f y y v + f y 2 y v 2

Vamos usar a mesma ideia de antes, começando com v f x

v f x = f x v = f x x x v + f x y y v = 2 f x 2 x v + 2 f x y y v

Entendeu a ideia, em vez de f colocamos f x .

Passo 4

Fazendo a mesma coisa com v f y

v f y = f y v = f y x x v + f y y y v = 2 f x y x v + 2 f y 2 y v

Entendeu a ideia, em vez de f colocamos f y .

A segunda derivada de g vai ficar

2 g v 2 = 2 f x 2 x v + 2 f x y y v x v + f x 2 x v 2 + 2 f x y x v + 2 f y 2 y v y v + f y 2 y v 2

Repara que precisamos da primeira e da segunda derivada disso tudo, em relação a f é no ponto x , y , Vamos achar esses pontos

x 0,1 = ln 1 + 0 2 + 1 2 = ln 2

y 0,1 = e 0 + 1 sen 0 1 = e sen 0 = 0

Ou seja,

x = ln 2

y = 0

Pelo enunciado temos as derivadas de f nesses pontos, precisamos da segunda derivada de x e y em relação a v .

Passo 5

Primeiro vamos achar as primeiras derivadas de x e v no ponto 0,1

x v 0,1 = 2 1 1 + 0 2 + 1 2 = 2 1 + 1 = 2 2 = 1

y v 0,1 = e 0 + 1 sen 0 1 + e 0 + 1 0 cos 0 1 = e sen 0 = 0

Agora para as derivadas segundas.

Começando com a derivada de x

2 x v 2 = 2 1 + u 2 + v 2 - 2 v 2 v 1 + u 2 + v 2 2

2 x v 2 = 2 + 2 u 2 + 2 v 2 - 4 v 2 1 + u 2 + v 2 2

2 x v 2 = 2 + 2 u 2 - 2 v 2 1 + u 2 + v 2 2

Agora para a derivada de y

2 y v 2 = e u + v sen u v + e u + v cos u v u + e u + v u cos u v + e u + v u - sen u v u

2 y v 2 = e u + v sen u v + e u + v u cos u v + e u + v u cos u v - e u + v u 2 sen u v

Vamos agora achar essas derivadas no ponto 0,1

2 x v 2 0,1 = 2 + 2 0 2 - 2 1 2 1 + 0 2 + 1 2 2

2 x v 2 0,1 = 2 - 2 1 + 1 2 = 0

2 y v 2 0,1 = e 0 + 1 sen 0 1 + e 0 + 1 0 cos 0 1 + e 0 + 1 0 cos 0 1 - e 0 + 1 0 2 sen 0 1

2 y v 2 0,1 = e sen 0 + 0 + 0 - 0 = 0

Passo 6

Voltando para a segunda derivada de g

2 g v 2 = 2 f x 2 x v + 2 f x y y v x v + f x 2 x v 2 + 2 f x y x v + 2 f y 2 y v y v + f y 2 y v 2

2 g v 2 0,1 = a 1 + b 0 1 + 2 0 + b 1 + c 0 0 + e - 1 0

2 g v 2 0,1 = a 1 + 0 + b 0 + 0

2 g v 2 0,1 = a + 0 + 0 + 0

2 g v 2 0,1 = a

Resposta

2 g v 2 0,1 = a

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