Exercícios Resolvidos de Regra dos Trapézios

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Enunciado

1) Calcule ∫ - 2 2 e - x 2 d x :

a) pelo método dos trapézios com h = 2 ,   h = 1 e h = 0,5 ;

b) pelo método de Romberg usando as 3 estimativas do item (a).

c) Delimite o erro ao se usar o método de Simpsons com h = 0,5 e determine a partir disso entre quais valores se encontra a integral exata.

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Na letra a, vamos calcular a integral ∫ - 2 2 e - x 2 d x pelo método dos trapézios.

Lembrando que para calcular uma integral qualquer:

I = ∫ a b f x d x

Podemos usar a regra do trapézio:

I ≈ h 2 [ f x 0 + 2 f x 1 + … + f x n - 1 + f x n ]

Onde

h = b - a n

Passo 2

Para h = 2 , temos:

h = b - a n

2 = 2 - - 2 n

n = 2

Então:

x 0 = - 2 ,   x 1 = 0 ,   x 2 = 2

Calculando:

I ≈ h 2 [ f x 0 + 2 f x 1 + … + f x n - 1 + f x n ]

≈ 2 2 f x 0 + 2 f x 1 + f x 2

≈ e - 4 + 2 + e - 4

≈ 2,0336

Passo 3

Para h = 1 , temos:

h = b - a n

1 = 2 - - 2 n

n = 4

Então:

x 0 = - 2 ,   x 1 = - 1 ,   x 2 = 0 ,   x 3 = 1 , x 4 = 2

Calculando:

I ≈ h 2 [ f x 0 + 2 f x 1 + … + f x n - 1 + f x n ]

≈ 1 2 f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + 2 f x 3 + f x 4

≈ 1 2 e - 4 + 2 e - 1 + 2 + 2 e - 1 + e - 4

≈ 1,7541

Passo 4

Para h = 1 , temos:

h = b - a n

0,5 = 2 - - 2 n

n = 8

Então:

x 0 = - 2 ,   x 1 = - 1 , 5 ,   x 2 = - 1 ,   x 3 = - 0.5 , x 4 = 0 , x 5 = 0,5 , x 6 = 1 , x 7 = 1,5 , x 8 = 2

Calculando:

I ≈ h 2 [ f x 0 + 2 f x 1 + … + f x n - 1 + f x n ]

≈ 0,5 2 f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + 2 f x 3 + 2 f x 4 + 2 f x 5 + 2 f x 6 + 2 f x 7 + f x 8

≈ 1 4 e - 4 + 2 e - 1,5 2 + 2 e - 1 + 2 e - 0,5 2 + 2 + + 2 e - 0,5 2 2 e - 1 + 2 e - 1,5 2 + e - 4

≈ 1,7 612

Resposta

Resposta nos passos

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