Exercícios Resolvidos de Regra dos Trapézios

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Enunciado

Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral ∫ 0 π 3 cos ⁡ x d x pela regra do trapézio com erro inferior a 0,001

Passo 1

Fala galera, bom nesses casos onde o professor pergunta pra gente qual o número de pontos necessário, a gente vai se apegar com força na fórmula do limitante de erro, que é essa aqui oh:

E ≤ n h 3 12 *   max x ∈ [ a , b ] ⁡ f ' ' ( x )

Com ela a gente vai conseguir calcular o passo que é o “h” e já já te mosto como o h leva a gente até o número de pontos.

Essa parte mais a direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada segunda no intervalo onde eu estou integrando..então bora derivar! Essa é mole...

f ' x = - s e n x

f ' ' x = - c o s ⁡ ( x )

No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz | f ' ' x | ser máximo é x=0 . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:

E ≤ n h 3 12

Se o erro é sempre menor ou igual a n h 3 12 e queremos limitar ele à 0.001, Então podemos escrever: n h 3 12 < 0.001  

Passo 2

Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc não manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:

h = b - a n

O b e o a são os extremos superior e inferior da integral e n o número de intervalos. E veja só

k = n + 1

O número de pontos necessários k é o número de intervalos mais um, viu só como o h salvou nossa vida!!! Nesse exercício o intervalo de integração é [ 0 ,   π / 3 ] então...

h = π 3 n

Passo 3

Substituindo na nossa inequação:

n ( π 3 n ) 3 12 < 0.001

Resolvendo ficamos com...

π 3 27 n 2 < 0.012

Invertendo de ambos os lados 27 n 2 π 3 > 0.012

Isolando n 2 ficamos com

n 2 > π 3 * 83.3333 27

Elevando a meio ambos os lados

n > 9.7825

Passo 4

Com n deve ser um número inteiro, sempre vamos arredondá-lo para cima, nesse caso n = 10 .

Como a pergunta foi o número de pontos e não de intervalos (pegadinha do professor), é só somar 1 ao número de intervalos n .

Resposta

k = 11 pontos

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