Exercícios Resolvidos de Regra dos Trapézios

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 2

Usando as integrais do exercício anterior com quantas divisões do intervalo, no mínimo, podemos esperar obter erros menores que 10 - 5 ?

Passo 1

As integrais do último exercício foram:

a ∫ 1 2 e x d x

b ∫ 1 4 x d x

c ∫ 2 14 d x x

E a fórmula do limitante do erro que vamos usar para elas é:

E ≤ n h 3 12 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

Com um limitante de 10 - 5 e sabendo que h = b - a n , temos:

n b - a n 3 12 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x ≤ 10 - 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a Temos:

f x = e x ⇒ f ' ' x = e x

O máximo de e x no intervalo 1,2 é e 2 = 7.389 . E b - a = 2 - 1 = 1 . Na fórmula:

1 12 n 2 7.389 ≤ 10 - 5

n 2 ≥ 61575

n ≥ 248.14

Logo, o menor n para obtermos o erro desejado é 249 .

Imagina fazer isso tudo na mão!

Passo 3

b Temos:

f x = x ⇒ f ' ' x = - 1 4 x 3 / 2

Como ela é sempre crescente e negativa, o módulo máximo de f ' ' x no intervalo 1,4 acontece em x = 1 , onde f ' ' x = - 1 4 . E nesse caso b - a = 4 - 1 = 3 . Substituindo:

3 3 12 n 2 - 1 4 ≤ 10 - 5

n 2 ≥ 56250

n ≥ 237.17

Então, o menor n para um erro de 10 - 5 é n = 238 .

Passo 4

c Por último temos:

f x = 1 x ⇒ f ' ' x = 3 4 x 5 / 2

O máximo do módulo da derivada segunda no intervalo 2,14 ocorre em x = 2 , onde f ' ' x = 0.1326 . E temos b - a = 14 - 2 = 12 . Na fórmula:

12 3 12 n 2 0.1326 ≤ 10 - 5

n 2 ≥ 1909440

n ≥ 1381.82

Então agora o menor n seria 1382 !

Que bom que computadores existem!

Resposta

a n = 249 .

b n = 238 .

c n = 1382 .

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