Exercícios Resolvidos de Regra dos Trapézios

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Enunciado

Qual o erro máximo cometido na aproximação de ∫ 0 4 3 x 3 - 3 x + 1 d x pela regra dos Trapézios com quatro subintervalos?

Passo 1

Nesse exercício trabalharemos com a função f :

f x =   3 x ³ - 3 x + 1

Vamos relembrar a fórmula do erro:

E ≤ n h 3 12 ∙ f ' ' x  

Onde n é a quantidade de subintervalos e h é o passo, ou seja, a diferença entre dois pontos consecutivos do intervalo.

Além disso, temos que o intervalo [ a , b ]   de f ( x ) é:

a = 0 e b = 4 .

Passo 2

Bom, como o enunciado pede para fazermos 4 subintervalos, n = 4 e, para achar o passo h , temos que dividir o intervalo de 0 a 4 em quatro partes iguais, ou seja:

h = 4 - 0 4 = 1

Agora que descobrimos o passo, vamos calcular agora a segunda derivada da função:

f x = 3 x 3 - 3 x + 1

f   ' x = 9 x 2 - 3

f ' ' x = 18 x

Vamos calcular o valor máximo de f ' ' x no intervalo 0,4 .

Como f ' ' x = 18 x é uma função linear crescente, quanto maior o x maior f ' ' x . Logo o máximo fica em x = 4 e vale f ' ' 4 = 72 . Substituindo todas essas informações na fórmula:

E ≤ 4 1 3 12 ∙ 72

E ≤ 24

Um erro bem grande né!

Resposta

E ≤ 24

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