Exercícios Resolvidos de Regra dos Trapézios

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Enunciado

Seja I = ∫ 0 1 e x d x

a Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos Trapézios repetida. Estime o erro cometido.

b Qual o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10 - 3 ?

Passo 1

a Primeiro vamos montar uma tabelinha dessa função! Como ele quer uma divisão em 10 subintervalos teremos h = 1 10 = 0.1 . Ficamos então com o seguinte:

Já até botei a soma no final porque sei que vamos precisar haha.

Aplicando a fórmula:

∫ 0 1 e x d x ≈ h 2 f x 0 + 2 f x 1 + �� + 2 f x n - 1 + f x n

Como temos a tabelinha acima com a soma no final, olha só a malandragem que faremos! Adicionaremos e depois subtrairemos h 2 ∙ f x 0 e h 2 ∙ f x n na nossa aproximação:

∫ 0 1 e x d x ≈ h 2 f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + f x n + ( f x 0 - f x 0 + f x n - f x n )

∫ 0 1 e x d x ≈ h 2 2 f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + 2 f x n - f x 0 - f x n

∫ 0 1 e x d x ≈ h 2 2 f x 0 + f x 1 + … + f x n - 1 + f x n ⏟ S o m a   ∑ - f x 0 - f x n

∫ 0 1 e x d x ≈ 0.1 2 2 19.056 - 1 - 2.718 = 1.7197

Passo 2

E agora podemos encontrar um limitante para o erro que é dado por:

E ≤ n h 3 12 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

E ≤ 10 0.1 3 12 ∙ max x ∈ 0,1 ⁡ e x

Como o máximo de e x no intervalo 0,1 acontece em x = 1 e tem como valor 2.718 , o erro fica:

E ≤ 0.002265

Passo 3

b Queremos que o erro seja menor que 10 - 3 . Pegando aquela mesma fórmula do erro, temos:

E ≤ n h 3 12 max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

E ≤ n 1 n 3 12 ∙ 2.718

10 - 3 ≥ 1 12 n 2 ∙ 2.718

n 2 ≥ 226.5

Tomando só os valores positivos de n :

n ≥ 15.05

Logo, o menor valor de n para termos esse limitante de erro é n = 16 .

Resposta

a I ≈ 1.7197

E ≤ 0.002265

b n = 16

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