Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

Ver Teoria

Enunciado

A cada ano, 400     alunos ingressam em um determinado curso universitário; sabe-se, com base em dados coletados ao longo dos anos, que metade dos ingressantes conclui o curso. A probabilidade de que pelo menos 215   dos 400   alunos que ingressam anualmente terminem o curso é:

Passo 1

Fala pessoal. Tudo belezinha? Vamos para mais uma questão de probabilidade, uma que utiliza o T C L   .

Nós queremos calcular a probabilidade de pelo menos 215     dos 400     passarem.

Então, se S n representa o número de alunos que passaram, queremos calcular P S n   ≥   215 .

Além disso, nos é informado que em média, apenas 200     alunos são aprovados todo ano. Ou seja, E S n = 200  

Vamos relembrar o T C L     (Teorema central do limite, ou Teorema do limite Central ). O T C L       nos diz que se X 1 , … , X n forem i i d   então:

S n - E S n V S n 1 2   ⟶     N 0,1   quando   n   ⟶   ∞

Onde S n   =   ∑ i = 1 n X i

Essa é uma convergência em distribuição.

Passo 2

Para podermos usar o T C L   presisamos da V S n . Mas como vamos obte-la? O enunciado não fala nada da distribuição de S n . Bem podemos inferir essa ditribuição. Faria sentido supor que cada aluno passa com probabilidade p   . Sendo assim, S n   ∼   b i n 400 , p (soma de bernoulli é binomial).

Mas que é p ?   .

É um resultado conhecido que a esperança da b i n n , p é dada por n p   . Então

E S n   =   400 ⋅ p

(Como o enunciado nos informa que E S n   =   200 )

⇒   p = 1 2

Como a variância da b i n n , p é dada por n p 1 - p   tem-se que:

V S n   =   400 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2

V S n   =   100

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Agora que temos a variância de S n podemos calcular a P S n   ≥ 215

P S n   ≥ 215   =   P S n - 200   ≥ 215 - 200  

=   P S n - 200 10   ≥ 215 - 200 10  

(nós subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão)

=   P Z   ≥ 215 - 200 10  

(Onde Z ∼ N 0,1   pelo T C L   )

=   P Z   ≥ 15 10  

Consultando a tabela z obtemos que P Z   ≥ 15 10   =   0.0668

Dessa forma, P S n   ≥ 215   =   0.0668

Resposta

0.0668  

Exercícios de Livros Relacionados

Continuação do exercício 4-44. Considere que o desvio padrão do tamanho de um ponto seja 0.0004 polegadas. Se a probabilidade de um ponto obedecer às especificações foi igual a 0.9973, que especificaç
Estabeleça a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória binomialmente distribuída (baseada em repetições de um experimento) truncada à direita de X=n; isto é, X=n não poderá ser observado
Em algumas tábuas de distribuição normal, H x = 1 2 π ∫ e - t 2 2 d t apresenta-se tabulada para valores positivos de x . Se a variável aleatória X tiver distribuição N ( 1,4 ) , exprimir cada uma das
Continuação do exercício 4-146. Refaça os itens a e B. Considere que a vida média seja uma variável aleatória lognormal, com amei mesmo a média e o mesmo desvio padrão.
A vida (em horas) de um aparelho de imagem por ressonância magnética (IRM) é modelada por uma distribuição de Weibull, com parâmetros β = 2 e δ = 500 horas.Determine a vida média de IRM.Determine a va