Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Túlio está vendendo cartelas de rifa com o objetivo de juntar dinheiro para comprar um vídeo game que custa R $ 1.200,00 . Cada cartela de rifa tem um preço aleatório, definido por raspadinhas no corpo da cartela. Em média, compradores pagam R $ 50,00 com desvio padrão de R $ 10,00 .

  1. Túlio vendeu 25 cartelas. Qual é a probabilidade de ele ter conseguido uma quantia suficiente para fazer a compra que deseja?
  2. Quantas cartelas Túlio precisaria vender para conseguir recursos suficientes para essa compra com 50 % de probabilidade?

Obs.: Admita que, em ambos os casos, o tamanho amostral é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.

Passo 1

(a)

A gente tem a seguinte variável...

X → p r e ç o   d a   c a r t e l a

A gente sabe o valor médio do preço de venda de cada cartela, e o desvio padrão:

μ = 50   e   σ = 10

Túlio vendeu 25 cartelas e temos que calcular a probabilidade dele conseguir mais de 1200 reais, pra fazer a compra que ele quer...

P ∑ i = 1 25 X i   > 1200 =   ?

Entendeu isso?

Esse termo aí representa o somatório dos valores que ele ganhou vendendo cada cartela.

Passo 2

Tá, mas como a gente vai fazer isso? O exercício da um obs dizendo pra usar Teorema Central do Limite... então vamos usar né! Afinal a dica não ia tá ali a toa.

Vou chamar:

Y = ∑ i = 1 25 X i  

E pelo teorema central do limite, a gente pode dizer que:

Y   ~   Normal ( n μ , n σ 2 )

Sendo que μ = 50 e σ = 10 .

Y   ~   N o r m a l   25 × 50   ,   25 × 100

Y   ~   N o r m a l   1250   ,   2500

A gente não sabia qual a distribuição do X , mas com o teorema agora a gente sabe a distribuição do Y .

Passo 3

A gente fica com:

P Y > 1200 =   ?

Sendo que:

Y   ~   N o r m a l   1250   ,   2500

Só a gente resolver... padronizando primeiro..

P Y > 1200 = P Z > 1200 - 1250 50

= P Z > - 1

Daí a gente usa nossos conhecimentos de Normal pra resolver isso.

P Z > - 1 = P Z < 1

Usando a tabela...

P Z < 1 = 0,8413

Passo 4

(b)

Quantas cartelas ele precisaria vender pra conseguir com 50 % de chance, os 1200 reais que ele quer?

P ∑ i = 1 n X i > 1200 = 0,50

Beleza? O somatório das n cartelas tem que passar de 1200 reais com 0,50 de prob...

Usando o teorema central do limite de novo...

Y = ∑ i = 1 n X i

Y   ~   N o r m a l   n μ , n σ ²

Só que a gente não conhece n , é exatamente isso que a gente tem que descobrir.. então:

Y   ~   N o r m a l   50 n   ; 100 n

Passo 5

Vamos calcular:

P Y > 1200 = 0,50

Padronizando...

P Y > 1200 = P Z > 1200 - 50 n 100 n = 0,50

Invertendo esse sinal de maior aí...

P Z > 1200 - 50 n 100 n = 1 - P Z < 1200 - 50 n 100 n = 0,50

P Z < 1200 - 50 n 100 n = 0,5

Tá! Agora a gente pode pegar na tabela, qual valor de z que nos dá probabilidade de 0,50 .

z = 0,00

Concorda? Acha o 0,50 dentro da tabela e você vê que é o 0,00 que leva até ele.

Passo 6

Com isso a gente fica com:

1200 - 50 n 100 n = 0

1200 - 50 n = 0

50 n = 1200

n = 24

Resposta

a   0,8413

b   n = 24

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