Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Uma moeda honesta é jogada 1600   vezes. A probabilidade de se obter entre 790   e   810 caras é:

Passo 1

Fala pessoal! Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Uma que envolve o uso do T C L  

Nosso problema envolve calcular a probabilidade de obtermos entre 790   e   810 caras em 1600   lançamentos de uma moeda honesta.

Isto é, se C   for o número de caras em 1600   lançamentos, queremos calcular P 790 ≤ C ≤ 810 .

Vale notar que C   conta o número de caras em 1600     lançamentos. Sendo assim, temos que C ∼ b i n 1600 , 1 2 , pois nossa moeda é honesta.

Passo 2

Como comentado no passo anterior, essa é uma questão que usa o T C L     vamos relembrar o que diz esse teorema.

O T C L   nos diz que se X 1 , … , X n são iid então

S n - E S n V S n 1 2   ⟶     N 0,1   quando   n   ⟶   ∞

Onde S n   =   ∑ i = 1 n X i

Note que no nosso caso o S n seria o nosso C   (lembra que C   é a soma de caras em lançamentos independentes)

Lembraram-se do T C L   ? Ele é bem útil na hora de calcular probabilidades que envolvem intervalos e soma de varias variáveis aleatórias.

Infelizmente não podemos sair aplicando o T C L   . Primeiro precisamos calcular E C   e   a   V C .

Passo 3

Como comentado no passo anterior, para utilizarmos o T C L   precisamos antes calcular a E C   e   a   V C . Mas, felizmente, como C ∼ b i n 1600 , 1 2 suas expressões de média e variância são bem conhecidas e são dadas por:

E C =   1600 ⋅ 1 2

E C   = 800

E sua variância é:

V C   = 1600 ⋅ 1 2 1 - 1 2

V C   = 400

Lembrou-se desse resultado? Ele é muito útil. Caso esteja interessado, a demonstração dele, e de outras propriedades úteis, pode ser achada no nosso material de probabilidade 😊

Passo 4

Agora que sabemos quem são E C   e   a   V C podemos usar o T C L  

Relembrando que queremos calcular P 790 ≤ C ≤ 810

(Subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão)

P 790 ≤ C ≤ 810   =   P 790 - E C V C 1 2 ≤ C - E C V C 1 2 ≤ 810 - E C V C 1 2  

(Pelo TCL)

  P 790 - E C V C 1 2 ≤ C - E C V C 1 2 ≤ 810 - E C V C 1 2     =   P 790 - E C V C 1 2 ≤ Z ≤ 810 - E C V C 1 2  

(Onde Z ∼ N 0,1 . Substituindo os valores)

  P 790 - E C V C 1 2 ≤ Z ≤ 810 - E C V C 1 2   =     P 790 - 800 20 ≤ Z ≤ 810 - 800 20  

  =   P - 10 20 ≤ Z ≤ 10 20  

  =   P - 1 2 ≤ Z ≤ 1 2  

(consultando uma tabela z)

P - 1 2 ≤ Z ≤ 1 2   =   0.3829

Resposta

0.3829  

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